Faktorregel
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.
$$ \begin{aligned}
y &= C \cdot u(t) \\[10pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= C \cdot \dot{u}(t) = C \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[u(t)\Bigr]
\end{aligned} $$
Beispiele:
$$ \begin{alignat}{7}
f(x) &= y = 6x^2 \qquad && \Rightarrow \qquad y^{\prime} &&= 6 \cdot \bigl(x^2\bigr)^{\prime} &&= 6 \cdot 2x = 12x\\[10pt]
f(t) &= y = 3\sin(t) \qquad && \Rightarrow \qquad \dot{y} &&= 3 \cdot \dot{\bigl(\sin(t)\bigr)} &&= 3 \cos(t)
\end{alignat} $$
Summenregel
Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert werden:
$$ \begin{aligned}
y &= u_1(t) + u_2(t) + \cdots + u_n(t) \\[10pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[u_1(t)\Bigr] + \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[u_2(t)\Bigr] + \cdots + \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[u_n(t)\Bigr]
\end{aligned} $$
Beispiele:
$$
\definecolor{lsgreen}{RGB}{79,175,152}
\definecolor{lsblue}{RGB}{16,160,205}
\definecolor{lsyellow}{RGB}{255,182,0}
\begin{alignat}{7}
f(x) &= y = {\color{red}x^4} + {\color{lsblue}x^3} - {\color{lsyellow}x^2} \qquad && \Rightarrow \qquad y^{\prime} &&= {\color{red}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl[x^4\Bigr]} + {\color{lsblue}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl[x^3\Bigr]} - {\color{lsyellow}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl[x^2\Bigr]} &&= {\color{red}4x^3}+{\color{lsblue}3x^2}-{\color{lsyellow}2x}\\[10pt]
f(t) &= y = {\color{red}6t^2} + {\color{lsblue}3\sin(t)} \qquad && \Rightarrow \qquad \dot{y} &&= {\color{red}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[6t^2\Bigr]} + {\color{lsblue}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[3\sin(t)\Bigr]} &&= {\color{red}12t}+{\color{lsblue}3 \cos(t)}
\end{alignat} $$
Produktregel
Die Produktregel kann genutzt werden, um Ableitungen von Funktionen zu berechnen, die als Produkt von anderen Funktionen dargestellt werden.
Für zwei Faktorfunktionen:
$$ \begin{aligned}
y &= u(t) \cdot v(t) \\[10pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[u(t)\Bigr] \cdot v(t) + u(t) \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[v(t)\Bigr]
\end{aligned} $$
Für drei Faktorfunktionen:
$$ \begin{aligned}
y &= u(t) \cdot v(t) \cdot w(t)\\[10pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[u(t)\Bigr] \cdot v(t) \cdot w(t) + u(t) \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[v(t)\Bigr] \cdot w(t) + u(t) \cdot v(t) \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[w(t)\Bigr]
\end{aligned} $$
Beispiele:
$$
\definecolor{lsgreen}{RGB}{79,175,152}
\definecolor{lsblue}{RGB}{16,160,205}
\definecolor{lsyellow}{RGB}{255,182,0}
\begin{alignat}{7}
f(t) = y &= {\color{red}t^2} \cdot {\color{lsblue}\sin(t)} \\[7pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= {\color{red}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[t^2\Bigr]} \cdot {\color{lsblue}\sin(t)} + {\color{red}t^2} \cdot {\color{lsblue}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[\sin(t)\Bigr]} = {\color{red}2t} \cdot {\color{lsblue}\sin(t)} + {\color{red}t^2} \cdot {\color{lsblue}\cos(t)}\\[12pt]
f(x) = y &= {\color{red}x^2} \cdot {\color{lsblue}e^x} \cdot {\color{lsyellow}\sin(x)}\\[7pt]
\Rightarrow \qquad y^{\prime} &= {\color{red}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl[x^2\Bigr]} \cdot {\color{lsblue}e^x} \cdot {\color{lsyellow}\sin(x)} + {\color{red}x^2} \cdot {\color{lsblue}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl[e^x\Bigr]} \cdot {\color{lsyellow}\sin(x)} + {\color{red}x^2} \cdot {\color{lsblue}e^x} \cdot {\color{lsyellow}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl[\sin(x)\Bigr]}\\[7pt]
&= {\color{red}2x} \cdot {\color{lsblue}e^x} \cdot {\color{lsyellow}\sin(x)} + {\color{red}x^2} \cdot {\color{lsblue}e^x} \cdot {\color{lsyellow}\sin(x)} + {\color{red}x^2} \cdot {\color{lsblue}e^x} \cdot {\color{lsyellow}\cos(x)} = {\color{lsblue}e^x} \cdot {\color{red}x} \cdot \bigl({\color{red}2} \cdot {\color{lsyellow}\sin(x)} + {\color{red}x} \cdot {\color{lsyellow}\sin(x)} + {\color{red}x} \cdot {\color{lsyellow}\cos(x)}\bigr)
\end{alignat} $$
Quotientenregel
Die Quotientenregel kann genutzt werden, um Ableitungen von Funktionen zu berechnen, die als Quotienten von anderen Funktionen dargestellt werden.
$$ \begin{aligned}
y &= \dfrac{u(t)}{v(t)} \\[10pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[u(t)\Bigr] \cdot v(t) - u(t) \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[v(t)\Bigr]}{\bigl[v(t)\bigr]^2}
\end{aligned} $$
Beispiele:
$$
\definecolor{lsgreen}{RGB}{79,175,152}
\definecolor{lsblue}{RGB}{16,160,205}
\definecolor{lsyellow}{RGB}{255,182,0}
\begin{aligned}
f(t) = y &= \dfrac{{\color{red}e^t}}{{\color{lsblue}t^2}} \\[7pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= \dfrac{{\color{red}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[e^t\Bigr]} \cdot {\color{lsblue}t^2} - {\color{red}e^t} \cdot {\color{lsblue}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[t^2\Bigr]}}{\bigl[{\color{lsblue}t^2}\bigr]^2} = \dfrac{ {\color{red}e^t} \cdot {\color{lsblue}t^2} - {\color{red}e^t} \cdot {\color{lsblue}2t}} {{\color{lsblue}t^4}}= \dfrac{ ({\color{lsblue}t} - {\color{lsblue}2}) \cdot {\color{red}e^t} } {{\color{lsblue}t^3}}\\[12pt]
f(t) = y &= {\color{lsblue}e^{-t}}\cdot {\color{red}\sin(t)} \\[7pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\biggl[ \dfrac{{\color{red}\sin(t)}} {{\color{lsblue}e^t}}\biggr] =
\dfrac{{\color{red}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[\sin(t)\Bigr]} \cdot {\color{lsblue}e^t} - {\color{red}\sin(t)} \cdot {\color{lsblue}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[e^t\Bigr]}}{\bigl[{\color{lsblue}e^t}\bigr]^2} =
\dfrac{ {\color{red}\cos(t)} \cdot {\color{lsblue}e^t} - {\color{red}\sin(t)} \cdot {\color{lsblue}e^t}} {{\color{lsblue}e^{2t}}}=
\dfrac{ ({\color{red}\cos(t)} - {\color{red}\sin(t)}) \cdot {\color{lsblue}e^t} } {{\color{lsblue}e^{2t}}}\\[7pt]
&= \dfrac{ {\color{red}\cos(t)} - {\color{red}\sin(t)} } {{\color{lsblue}e^t}} = ( {\color{red}\cos(t)} - {\color{red}\sin(t)}) \cdot {\color{lsblue}e^{-t}}
\end{aligned} $$
Kettenregel
Die Kettenregel kann verwendet werden, um die Ableitung einer Funktion zu berechnen, die als Kombination mehrerer Funktionen dargestellt wird.
$$ \begin{aligned}
y &= f\bigl(u(t)\bigr) \\[10pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[f(u)\Bigr] \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[u(t)\Bigr]
\end{aligned} $$
Die Ableitung einer aus den Funktionen \(f(u)\) und \(u(t)\) zusammengesetzten (verketteten) Funktion \(y=f\bigl(u(t)\bigr)\) ist das Produkt aus der äußeren und der inneren Ableitung.
Vorgehensweise:
- Substitution \(u=u(t)\)
- Ableitung \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[f(u)\bigr]\) bilden (äußere Ableitung)
- Hilfsvariable \(u\) durch Rücksubstitution beseitigen
- Ableitung \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[u(t)\bigr]\) bilden (innere Ableitung)
- Beide Ableitungen miteinander multiplizieren
Beispiel:
\(f(t) = y = \ln(1+t^4) \)
- \(u = 1+t^4\)
- \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\ln(u)\bigr] = \frac{1}{u}\)
- \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\ln(u)\bigr] = \frac{1}{1+t^4}\)
- \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[1+t^4\bigr] = 4t^3\)
- \(\dot{y} = \frac{1}{1+t^4} \cdot 4t^3 = \frac{4t^3}{1+t^4}\)
Kettenregel für zweifach verschachtelte Funktionen
$$ \begin{aligned}
y &= f\Bigl(v\bigl(u(t)\bigr)\Bigr) \\[10pt]
\Rightarrow \qquad \dot{y} &= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[f(v)\Bigr] \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[v(u)\Bigr] \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[u(t)\Bigr]
\end{aligned} $$
Vorgehensweise:
- Substitution \(u=u(t)\)
- Substitution \(v=v(u)\)
- Ableitung \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[f(v)\bigr]\) bilden (äußere Ableitung)
- Ableitung \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[v(u)\bigr]\) bilden (1. innere Ableitung)
- Ableitung \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[u(t)\bigr]\) bilden (2. innere Ableitung)
- Die drei Ableitungen miteinander multiplizieren
- Rücksubstitution in der Reihenfolge \(v \rightarrow u \rightarrow t\)
Beispiel:
\(f(t) = y = \sin^3(t^2+t) \)
- \(u = t^2+t \quad \Rightarrow \quad y = \sin^3(u) = (\sin(u))^3\)
- \(v = \sin(u) \quad \Rightarrow \quad y = v^3\)
- \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[v^3\bigr] = 3v^2\)
- \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\sin(u)\bigr] = \cos(u)\)
- \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[t^2+t\bigr] = 2t+1\)
- \(\dot{y} = 3v^2 \cdot \cos(u) \cdot (2t+1)\)
- \(\dot{y} = 3\sin^2(u) \cdot \cos(u) \cdot (2t+1) = 3(2t+1) \cdot \sin^2(t^2+t) \cdot \cos(t^2+t)\)
Logarithmische Differentiation
Logarithmische Differentiation ist eine Technik in der Differenzialrechnung, bei der man Funktionen in logarithmischer Form umwandelt, um ihre Ableitungen zu berechnen. Dies kann nützlich sein, wenn eine Funktion in exponentieller Form schwer zu bearbeiten ist.
$$ \begin{aligned}
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[\ln(y)\Bigr] &= \dfrac{1}{y}\cdot \dot{y}~
\end{aligned} $$
Bei der logarithmischen Differentiation wird die Funktion \(y=f(t)\) zunächst beiderseits logarithmiert und anschließend unter Verwendung der Kettenregel differenziert.
Die logarithmische Differentiation wird bei Funktionen vom Typ \(y= \bigl[u(t)\bigr]^{v(t)}\) mit \(u(t)>0\) angewendet.
Beispiel:
\(f(t) = y = t^{\cos(t)}\quad,t>0 \)
- Logarithmieren: \(\ln(y) = \ln\bigl(t^{\cos(t)}\bigr) = \cos(t) \cdot \ln(t)\)
- Differenzieren: \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\ln(y)\bigr] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\cos(t) \cdot \ln(t)\bigr]\)
- \(\frac{1}{y} \cdot \dot{y} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\cos(t)\bigr] \cdot \ln(t) + \cos(t) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\ln(t)\bigr]\)
- \(\frac{1}{y} \cdot \dot{y} = - \sin(t) \cdot \ln(t) + \cos(t) \cdot \frac{1}{t}\)
- \(\dot{y} = y \cdot \Bigl(- \sin(t) \cdot \ln(t) + \frac{\cos(t)}{t}\Bigr)\)
- \(\dot{y} = t^{\cos(t)} \cdot \Bigl(- \sin(t) \cdot \ln(t) + \frac{\cos(t)}{t}\Bigr)\)