Faktorregel
Ein konstanter Faktor vor einer Funktion bleibt beim Integrieren erhalten. Die Faktorregel erlaubt es uns, eine Konstante vor das Integralzeichen zu ziehen und sie später nach der Integration wieder einzufügen.
$$ \begin{aligned}
\int\limits_{a}^{b} C \cdot f(x) \ \mathrm{d}x &= C \cdot \int\limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x
\end{aligned} $$
Beispiele:
$$ \begin{alignat}{5}
\int\limits_{a}^{b} 3 \cdot x^2 \ \mathrm{d}x &= 3 \cdot \int\limits_{a}^{b} x^2 \ \mathrm{d}x &&= 3 \cdot \dfrac{1}{3} x^3 \bigg|_{a}^{b} &&= x^3 \bigg|_{a}^{b}\\[10pt]
\int\limits_{a}^{b} 2 \cdot \sin(x) \ \mathrm{d}x &= 2 \cdot \int\limits_{a}^{b} \sin(x)\ \mathrm{d}x &&= 2 \cdot (-)\cos(x) \bigg|_{a}^{b} &&= -2 \cos(x) \bigg|_{a}^{b}
\end{alignat} $$
Summenregel
Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden:
$$ \begin{aligned}
\int\limits_{a}^{b} \Bigl[ f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x)\Bigr] \ \mathrm{d}x &= \int\limits_{a}^{b} f_1(x) \ \mathrm{d}x +\int\limits_{a}^{b} f_2(x) \ \mathrm{d}x +\cdots +\int\limits_{a}^{b} f_n(x) \ \mathrm{d}x
\end{aligned} $$
Beispiele:
$$
\definecolor{lsgreen}{RGB}{79,175,152}
\definecolor{lsblue}{RGB}{16,160,205}
\definecolor{lsyellow}{RGB}{255,182,0}
\begin{alignat}{7}
\int\limits_{a}^{b} \Bigl[{\color{red}x^4} + {\color{lsblue}x^3} - {\color{lsyellow}x^2}\Bigr] \ \mathrm{d}x &= \int\limits_{a}^{b} {\color{red}x^4} \ \mathrm{d}x + \int\limits_{a}^{b} {\color{lsblue}x^3} \ \mathrm{d}x - \int\limits_{a}^{b} {\color{lsyellow}x^2} \ \mathrm{d}x &&= {\color{red}\dfrac{1}{5}x^5}\bigg|_{a}^{b} + {\color{lsblue}\dfrac{1}{4}x^4}\bigg|_{a}^{b} - {\color{lsyellow}\dfrac{1}{3}x^3}\bigg|_{a}^{b}\\[10pt]
\int\limits_{a}^{b} \Bigl[{\color{red}6x^2} + {\color{lsblue}3\sin(x)} \Bigr] \ \mathrm{d}x &= \int\limits_{a}^{b} {\color{red}6x^2} \ \mathrm{d}x + \int\limits_{a}^{b} {\color{lsblue}3\sin(x)} \ \mathrm{d}x &&= {\color{red}2x^3}\bigg|_{a}^{b} - {\color{lsblue}3\cos(x)}\bigg|_{a}^{b}
\end{alignat}
$$