Übungsaufgabe F-1.2.2-xz TechMech 2 Festigkeitslehre

Aufgabe F-1.2.2-xz

Ebener Spannungszustand: Größe und Richtung der Hauptspannungen bestimmen

Aufgabenstellung

In einem Blech seien die Spannungen $\sigma_x = 20\mathrm{~MPa}$, $\sigma_z = 30\mathrm{~MPa}$ und $\tau_{xz} = 10\mathrm{~MPa}$ gegeben.

Diese Abbildung zeigt ein quadratisches Blech. Es liegt mit zwei Seiten in einem x,z-Koordinatensystem mit Ursprung in der linken unteren Ecke des Bleches. Die x-Achse ist nach rechts positiv, die z-Achse nach unten positiv. Normal- und Schubspannungen sind für jede Seite des Bleches jeweils positiv mit Pfeilen dargestellt. — Abb. 1: Blech mit gegebenen Spannungen

Bestimme die Größe und Richtung der Hauptspannungen.

Kurzlösung

Bestimme die Größe und Richtung der Hauptspannungen.

$$ \begin{aligned} \sigma_{1} &= 36,180\mathrm{~MPa}~(\searrow)\\ \varphi_1^* &= -58,283°\\ \sigma_{2} &= 13,820\mathrm{~MPa}~(\nearrow)\\ \varphi_2^* &= 31,717° \end{aligned} $$

Ausführlicher Lösungsweg

Für das gegebene $x$, $z$-Koordinatensystem, das eine Ebene beschreibt, in der die x-Achse in positiver Richtung nach rechts und die z-Achse in positiver Richtung nach unten zeigt und den gegebenen Spannungen $\sigma_x$, $\sigma_z$ und $\tau_{xz}$ können wir zur Bestimmmung der Hauptspannungen die Formel 1.10_xz anwenden:

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