Übungsaufgabe zur Mathematik für Ingenieure

Aufgabe M-D-1.7

Differentialrechnung: Tangente zugleich Normale derselben Kurve

Aufgabenstellung

Man bestimme diejenigen Punkte des Graphen von

$$ f:x \mapsto f(x) = \frac{1}{x^2},~D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

in denen die Tangente zugleich Normale für dieselbe Kurve ist. (Die Normale ist die Senkrechte zur Tangente im Berührpunkt.)

Funktion mit Tangente — Abb. 1: Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2}$ und eine Tangente, die zugleich Normale für dieselbe Kurve ist.

Kurzlösung

$$ \begin{align} &P_1~(-1.782,0.315)\\[7pt] &P_2~(1.782,0.315) \end{align} $$

Ausführlicher Lösungsweg

Vorüberlegungen

Wir suchen diejenigen Punkte des Graphen von $f(x)=\frac{1}{x^2}$, in denen die Tangente zugleich Normale für dieselbe Kurve ist.

Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir also im ersten Schritt die Tangentengleichung $t(x)$ für die Funktion $f(x)$ in allgemeiner Form finden. Anschliessend suchen wir die Schnittpunkte der allgemeinen Tangentengleichung $t(x)$ mit der Funktion $f(x)$. Diese Schnittpunkte können mögliche Punkte sein, in denen die Tangente zugleich Normale für f(x) ist. Dies können wir berechnen, indem wir die Steigung der Normalen in den Schnittpunkten berechnen und mit der Steigung der ursprünglichen Tangentenfunktion vergleichen.