Übungsaufgabe F-6.1.4 TechMech 2 Festigkeitslehre

Aufgabe F-6.1.4

Flächenträgheitsmoment: Axiales und Biaxiales Flächenträgheitsmoment bestimmen

Aufgabenstellung

Kreisfläche, für die das Flächenträgheitsmoment (axial, biaxial) berechnet werden soll. Radius: R, Zentrum: y,z, y nach links positiv, z nach unten positiv. — Abb. 1: Kreisfläche mit Schwerachsen

Für die abgebildete Kreisfläche sind folgende Flächenträgheitsmomente bezüglich des dargestellten $y$, $z$-Koordinatensystems zu bestimmen:

Axiales Flächenträgheitsmoment $I_y$
Axiales Flächenträgheitsmoment $I_z$
Biaxiales Flächenträgheitsmoment $I_{yz}$

Kurzlösung

a) Bestimme das axiale Flächenträgheitsmoment $I_y$

$$ \begin{aligned} I_y&= \dfrac{1}{4}R^4\pi \end{aligned} $$

b) Bestimme das axiale Flächenträgheitsmoment $I_z$

$$ \begin{aligned} I_z &= \dfrac{1}{4}R^4\pi \end{aligned} $$

c) Bestimme das biaxiale Flächenträgheitsmoment $I_{yz}$

$$ \begin{aligned} I_{yz} &= 0 \end{aligned} $$

Ausführlicher Lösungsweg

Ein Ansatz zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente besteht darin, die Berechnung in Polarkoordinaten durchzuführen.

Um die Berechnungsmethode anwenden zu können, ist es erforderlich, den funktionalen Zusammenhang $r(\varphi)$ zu ermitteln.

Diesen finden wir, wenn wir uns für den Kreis den Zusammenhang von einem beliebigen Winkel $\varphi$ und dem dazugehörigen Radius $r(\varphi)$ des Kreises verdeutlichen: Der Radius ist konstant. Diese Eigenschaft des Kreises vereinfacht die Berechnung nach dieser Methode. Sie ist daher bei der Berechnung kreisförmiger Flächen den Berechnungsmethoden mit kartesischen Koordinaten zu bevorzugen.

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