Übungsaufgabe F-6.2.2 TechMech 2 Festigkeitslehre

Aufgabe F-6.2.2

Flächenträgheitsmoment: Bestimme Flächenträgheitsmoment für ein Koordinatensystem parallel zum Schwerachsensystem

Aufgabenstellung

Der dargestellte Rechteckquerschnitt hat eine Fläche von $A=72~\mathrm{cm}^2$.

Die Abbildung zeigt eine rechteckige Querchnittsfläche mit der Breite b und der Höhe h. Ein gelbes y,z-Koordinatensystem hat seinen Ursprung im Schwerpunkt der Fläche. Eine grüne y mit Überstrich Index 1-Achse befindet sich im Abstand a Index 1 parallel über der gelben y-Achse. Eine rote y mit Überstrich Index 2-Achse befindet sich im Abstand a Index 2 parallel unter der gelben y-Achse. Die y-Achsen sind nach links positiv, die z-Achse nach unten positiv. — Abb. 1: Rechteckfläche

Das axiale Flächenträgheitsmoment bezogen auf die $\overline{y}_1$-Achse ($a_1 = 5~\mathrm{cm}$) ist bekannt und beträgt $I_{\overline{y}_1}=2664~\mathrm{cm}^4$.

Berechne das axiale Flächenträgheitsmoment $I_{\overline{y}_2}$ bezogen auf die $\overline{y}_2$-Achse ($a_2 = 2~\mathrm{cm}$).

Kurzlösung

$$ \begin{aligned} I_{\overline{y}_2} &= 1152~\mathrm{cm}^4 \end{aligned} $$

Ausführlicher Lösungsweg

Die Bezugachse des gesuchten Flächenträgheitsmomentes, $\overline{y}_2$, liegt parallel zur Bezugachse des gegebenen Flächenträgheitsmomentes, $\overline{y}_1$.

Dennoch ist eine direkte Umrechnung des gegebenen Flächenträgheitomentes $I_{\overline{y}_1}$ auf die $\overline{y}_2$-Achse mithilfe des Satzes von Steiner nach Formel (6.10) nicht zulässig, da eine grundlegende Voraussetzung zur Anwendung dieser Formel fehlt: Keine der beiden Achsen $\overline{y}_1$ und $\overline{y}_2$ ist Schwerpunktachse der gegebenen Rechteckfläche.

Muss das Flächenträgheitsmoment, wie in diesem Fall, von einer beliebigen Achse zu einer anderen beliebigen parallelen Achse umgerechnet werden, d.h. beide Achsen sind keine Schwerachsen, dann sind zwei Schritte notwendig:

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