Übungsaufgabe S-1.1.2 TechMech 1 Starrkörperstatik

Aufgabe S-1.1.2

Zentrale Kräftesysteme - Erste Grundaufgabe: Reduktion auf eine Einzelkraft

Aufgabenstellung

Ermittle grafisch und analytisch aus den Kräften F₁ bis F₅ den Betrag und die Richtung für die Resultierende.

$$ \begin{alignat}{5} F_1 &= 120~\mathrm{N} \quad && \alpha_1 &&=80° \\[7pt] F_2 &= 200~\mathrm{N} \quad && \alpha_2 &&=123° \\[7pt] F_3 &= 220~\mathrm{N} \quad && \alpha_3 &&=165° \\[7pt] F_4 &= 90~\mathrm{N} \quad && \alpha_4 &&=290° \\[7pt] F_5 &= 150~\mathrm{N} \quad && \alpha_5 &&=317° \end{alignat} $$

Bevor es losgeht: Wichtiges für deine Mission

Bevor du dich in dieses Abenteuer stürzt, lass uns kurz checken, ob du für die Herausforderung gewappnet bist.

Um was geht's denn eigentlich?

Um welches Themengebiet handelt es sich hier eigentlich? Kannst du es begründen?

Alle Wirkungslinien der angreifenden Kräfte schneiden sich in einem Punkt. Es liegt also ein zentrales Kräftesystem vor.

Brauchst du noch etwas Nachhilfe?

Falls du dich mit zentralen Kräftesystemen nicht so richtig auskennst, keine Sorge! Hier findest du ein paar Auffrischungen:

Zeichnerische Lösung
Rechnerische Lösung

So, jetzt bist du fit für die Aufgabe!

Viel Erfolg!

Zeichnerische Lösung

Okay, lass uns die Resultierende deines zentralen Kräftesystems auf eine lockere Art und Weise ermitteln. Stell dir vor, du bist ein Detektiv, der einem mysteriösen Fall auf der Spur ist: Wo versteckt sich die Resultierende und wie stark und in welche Richtung wirkt sie?

Schritt 1: Lageplan - der Tatort

Du hast Glück! Der Lageplan des Systems ist dir schon gegeben. Du siehst also, wo alle Kräfte angreifen, aber ein konkretes Objekt gibt es nicht. Stattdessen wirken sie alle im Ursprung eines x,y-Koordinatensystems. Quasi ein Treffpunkt der Kräfte!

Schritt 2: Kräfteplan - Täterprofil erstellen

Jetzt wird's spannend: Erstelle einen Kräfteplan, der uns mehr über die Täter (die Kräfte) verrät.

Wähle einen Maßstab, der zu den gegebenen Kräften passt. $1~\mathrm{LE}~\widehat{=}~ 20~\mathrm{N}$ könnte passen.
Rechne die Beträge der Kräfte in Längen um. So bekommen wir ein Gefühl für ihre Stärke.
$$ \begin{alignat}{3} \tag{1} F_1 &= 120~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 6~\mathrm{LE} \\[7pt] \tag{2} F_2 &= 200~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 10~\mathrm{LE} \\[7pt] \tag{3} F_3 &= 220~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 11~\mathrm{LE} \\[7pt] \tag{4} F_4 &= 90~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 4.5~\mathrm{LE} \\[7pt] \tag{5} F_5 &= 150~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 7.5~\mathrm{LE} \end{alignat} $$

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Rechnerische Lösung

Um diese Aufgabe zu rechnerisch zu lösen, benötigst du für alle Kräfte des zentralen Kräftesystems jeweils den Winkel $\alpha$ von der positiven x-Achse zum Kraftvektor (gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt) sowie den Betrag.

Diese Abbildung 5 zeigt einen Kraftvektor in 3 Positionen in einem x,y-Koordinatensystem. — Abb. 5: Allgemeiner Kraftvektor in der Ebene

Du hast Glück! Der Lageplan des Systems ist dir schon mit der Aufgabenstellung gegeben. Und mit ihm die benötigten Beträge und Winkel der Einzelkräfte:

Gegeben:

$$ \begin{alignat}{5} F_1 &= 120~\mathrm{N} \quad && \alpha_1 &&=80° \\[7pt] F_2 &= 200~\mathrm{N} \quad && \alpha_2 &&=123° \\[7pt] F_3 &= 220~\mathrm{N} \quad && \alpha_3 &&=165° \\[7pt] F_4 &= 90~\mathrm{N} \quad && \alpha_4 &&=290° \\[7pt] F_5 &= 150~\mathrm{N} \quad && \alpha_5 &&=317° \end{alignat} $$

Schritt 1: Komponenten der einzelnen Kräfte addieren:

Damit kannst du die Komponenten der Resultierenden durch Addition der Komponenten der einzelnen Kräfte nach Gleichung (2.4) bestimmen:

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