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Festigkeitslehre / Elastostatik

Thema: Flächenträgheitsmoment

Hier erfährst du, was ein Flächenträgheitsmoment (auch: Flächenmoment 2. Grades oder Flächenmoment 2. Ordnung) ist, wo in der technischen Mechanik es Anwendung findet und wie es berechnet wird.

Lass uns gemeinsam diese wichtigen Konzepte erkunden.

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Inhaltsverzeichnis

1.2.2 Definition des polaren Flächenträgheitsmomentes

Das polare Flächenträgheitsmoment ist eine geometrische Größe, die in der Technischen Mechanik zur Beschreibung der Fähigkeit einer Fläche, einer Drehung um ihre Symmetrieachse entgegenzuwirken, verwendet wird.

Zur Berechnung des polaren Flächenträgheitsmomentes muss also der Abstand \(r\) des infinitesimalen Flächenelementes \(\mathrm{d}A\) zur \(x\)-Achse bzw. dem Ursprung des \(y\),\(z\)-Koordinatensystems in die Formel einfließen. Dies wird elegant durch die Addition der axialen Flächenelemente erreicht:

$$ \begin{align} \tag{1} I_p &= I_y + I_z \\[7pt] \tag{2} &= \int\limits_{(A)} z^2 \ \mathrm{d}A + \int\limits_{(A)} y^2 \ \mathrm{d}A \\[7pt] \tag{3} &= \int\limits_{(A)} (y^2 + z^2) \ \mathrm{d}A \end{align} $$

Der Zusammenhang zwischen \(y\), \(z\) und \(r\) wird in Abbildung 6.1.2 deutlich:

$$ \begin{align} \tag{4} r^2 &= y^2 + z^2 \end{align} $$

Damit folgt für das polare Flächenträgheitsmoment:

$$ \begin{alignat}{3} I_p &= \int\limits_{(A)} r^2 \ \mathrm{d}A \end{alignat} $$

(6.3)

Da \(I_p\) die Summe aus den stets größer oder gleich Null großen \(I_y\) und \(I_z\) ist, muss auch \(I_p\) immer größer oder gleich Null sein!

Anmerkung:

Das an dieser Stelle berechnete \(I_p\) gilt ausschließlich für kreisrunde Querschnitte, also nur für kreis- und kreisringförmige Querschnitte!