Übungsaufgabe F-1.1.1

1. Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalspannung \(\sigma\) an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabsachse?

$$ \sigma(x) = -\dfrac{F}{\Bigl[r_0 \cdot \Bigl(2 - \dfrac{x}{l}\Bigr)\Bigr]^2 \cdot \pi} $$

1. Wie groß ist die Normalspannung \(\sigma\) an der Stelle \(x=200~\mathrm{mm}\) in einem Schnitt senkrecht zur Stabsachse?

$$ \sigma(x=200~\mathrm{mm}) = -1,572\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2} $$

Vorüberlegungen

Der Stab wird durch eine Kraft \(F\) belastet, deren Wirkungslinie die Stabsachse ist. Das bedeutet: Es liegt ein einachsiger Spannungszustand vor.

Wir suchen die Normalspannung in einem senkrechten Schnitt zur Stabsachse. Die allgemeine Formel lautet:

Der Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe besteht darin, dass die Querschnittsfläche \(A\) des Stabes konisch und damit für jede Position \(x\) unterschiedlich ist. Also gilt \(A=A(x)\). Wir benötigen entsprechend die Formel 1.3b, um diese Aufgabe zu lösen:

Schritt 1: Normalkraft bestimmen

Stelle dir vor, du schneidest den Stab an einem beliebigen Punkt \(x\) gedanklich durch. An der Schnittstelle wirken zwei Kräfte, entgegengesetzt und gleich groß: die Normalkraft N in doppelter Ausführung. Denn nur so kann diese Schnittstelle im Gleichgewicht sein.

Zur Erinnerung: Am positiven, linken Schnittufer tragen wir \(N\) in positiver (in Richtung der positiven x-Achse) Richtung an, am negativen, rechten Schnittufer hingegen in negativer (gegen die Richtung der positiven x-Achse) Richtung.

Da der Stab im Gleichgewicht ist (d.h. er bewegt sich nicht), müssen die Kräfte in x-Richtung gleich sein.

Stellen wir jetzt die horizontale Gleichgewichtsbedingung für beispielsweise unseren linken Schnitt auf können wir damit die Normalkraft \(N\) bestimmen:

Also: N = -F. Das bedeutet, die Normalkraft ist negativ, weil sie der Druckkraft entgegenwirkt. Also wirkt sie genau andersherum, als wir es uns in der Abb. 2 eingezeichnet haben.

Wir erhalten also eine konstante (da von \(x\) unabhängige), negative, innere Normalkraft, d.h. wir haben eine Druckkraft und somit nach Gleichung 1.3/1.3b eine Druckspannung. Dies muss so sein, da die Fläche positiv ist und negative Kraft durch positive Fläche eine negative Spannung (= Druckspannung) ergibt.

Ganz einfach: Am Stabanfang wirkt eine äußere Kraft auf unseren Stab. Da bis zum Stabende keine Änderung dieser Kraft durch weitere äußere Kräfte eintritt, bleibt auch die Normalkraft über den ganzen Stab konstant.

Schritt 2: Fläche in Abhängigkeit von \(x\) bestimmen

Da es sich um einen konischen Stab handelt, ist die Schnittfläche im senkrechten Schnitt zur Stabsachse stets kreisförmig. Die Formel für eine Kreisfläche lautet:

Wie oben bereits angemerkt, besteht der Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe darin, dass die Querschnittsfläche \(A\) des Stabes konisch und damit für jede Position \(x\) unterschiedlich ist. Wenn wir uns das Problem in einer Grafik ansehen, erkennen wir schnell, dass wir den Radius \(r\) in Abhängigkeit von der Position \(x\) darstellen müssen, um diese Aufgabe zu lösen:

Wir suchen also \(r(x)\), um die Fläche wie folgt beschreiben zu können:

Ein solches Problem können wir auf mindestens zwei verschiedene Wege lösen. Entweder wenden wir den 2. Strahlensatz an oder wir stellen die Funktionsgleichung der Geraden \(r(x)\) auf.

Beide Wege führen natürlich zum exakt gleichen Ziel. Welchen man nimmt, hängt selbstverständlich davon ab, welcher der beiden Rechenwege einem am meisten liegt. Daher sehen wir uns an dieser Stelle beide Möglichkeiten genauer an.

---

Bist du bereits ein TechMechAcademy+ Premiummitglied? Dann logge dich bitte hier ein, um den vollen Zugriff auf alle Inhalte zu genießen.