Aufgabe F-1.1.1
Einachsiger Spannungszustand: Konischer Stab und Druckkraft
Aufgabenstellung
Ein konischer Stab mit kreisförmigem Querschnitt und der Länge

- Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalspannung
an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabsachse? - Wie groß ist die Normalspannung
an der Stelle in einem Schnitt senkrecht zur Stabsachse?
Ausführlicher Lösungsweg
Vorüberlegungen
Der Stab wird durch eine Kraft
Wir suchen die Normalspannung in einem senkrechten Schnitt zur Stabsachse. Die allgemeine Formel lautet:
(1.3)
Der Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe besteht darin, dass die Querschnittsfläche
(1.3b)
- Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalspannung
an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabsachse?
Schritt 1: Normalkraft bestimmen
Stelle dir vor, du schneidest den Stab an einem beliebigen Punkt
Zur Erinnerung: Am positiven, linken Schnittufer tragen wir

Da der Stab im Gleichgewicht ist (d.h. er bewegt sich nicht), müssen die Kräfte in x-Richtung gleich sein.
Stellen wir jetzt die horizontale Gleichgewichtsbedingung für beispielsweise unseren linken Schnitt auf können wir damit die Normalkraft
Also: N = -F. Das bedeutet, die Normalkraft ist negativ, weil sie der Druckkraft entgegenwirkt. Also wirkt sie genau andersherum, als wir es uns in der Abb. 2 eingezeichnet haben.
Wir erhalten also eine konstante (da von
Ganz einfach: Am Stabanfang wirkt eine äußere Kraft auf unseren Stab. Da bis zum Stabende keine Änderung dieser Kraft durch weitere äußere Kräfte eintritt, bleibt auch die Normalkraft über den ganzen Stab konstant.
Schritt 2: Fläche in Abhängigkeit von bestimmen
Da es sich um einen konischen Stab handelt, ist die Schnittfläche im senkrechten Schnitt zur Stabsachse stets kreisförmig. Die Formel für eine Kreisfläche lautet:
Wie oben bereits angemerkt, besteht der Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe darin, dass die Querschnittsfläche

Wir suchen also
Ein solches Problem können wir auf mindestens zwei verschiedene Wege lösen. Entweder wenden wir den 2. Strahlensatz an oder wir stellen die Funktionsgleichung der
Geraden
Beide Wege führen natürlich zum exakt gleichen Ziel. Welchen man nimmt, hängt selbstverständlich davon ab, welcher der beiden Rechenwege einem am meisten liegt. Daher sehen wir uns an dieser Stelle beide Möglichkeiten genauer an.
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