Übungsaufgabe F-1.1.2

1. Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalkraft \(N\) an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Kegelachse?

$$ N(x) = \dfrac{\varrho \cdot r_0^2 \cdot \pi \cdot g}{3 \cdot l^2} \cdot x^3 $$

Wenn man möchte, kann man noch \(r_0^2 \cdot \pi=A_0\) zusammenfassen und hat dann als finales Ergebnis:

$$ N(x) = \dfrac{\varrho \cdot A_0 \cdot g}{3 \cdot l^2} \cdot x^3 $$

1. Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalspannung \(\sigma\) an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Kegelachse?

$$ \sigma(x) = \dfrac{\varrho \cdot g}{3} \cdot x $$

1. Wie groß ist die Normalspannung \(\sigma\) an der Stelle \(x=70~\mathrm{mm}\) in einem Schnitt senkrecht zur Kegelachse?

$$ \sigma(x=70~\mathrm{mm}) = 2,083 \cdot 10^{-4}~\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm^2}} $$

Vorüberlegungen

Du willst den Spannungszustand im Kreiskegel knacken? Coole Sache! Aber keine Sorge, es ist gar nicht so schwer, wie es aussieht.

Zuerst mal: Entspann dich! Der Kegel steht hängt stabil da, er fällt nicht einfach herunter. Die Gewichtskraft zieht zwar nach unten, aber die Lagerreaktion, also die Verbindung Dachrinne-Eiszapfen, hält dagegen. So entsteht ein einachsiger Spannungszustand – alles easy.

Du suchst jetzt die Normalspannung in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse. Dazu brauchst du die Formel:

Okay, okay, sieht kompliziert aus, aber ist halb so wild.

\(N_x\) ist die Normalkraft, die im Schnitt wirkt. Sie hängt von der Gewichtskraft des (ab-)geschnittenen Kegels ab. Und damit von der Position x im Kegel: Je weiter oben du schneidest, desto mehr Kegelmasse zieht nach unten, desto größer ist \(N_x\).

\(A\) ist die Querschnittsfläche des Kegels an der Stelle \(x\). Je weiter oben du schneidest, desto größer wird der Kreis, desto größer ist \(A\).

Du siehst, sowohl \(N_x\) als auch \(A\) ändern sich mit \(x\). Deswegen musst du die Formel 1.3b verwenden, um die Spannung an jeder Stelle \(x\) auszurechnen.

Aber keine Panik! Mit ein bisschen Mathe und Geduld schaffst du das locker.

Tipp: Stell dir vor, du zerschneidest den Kegel in ganz viele dünne Scheiben. Für jede Scheibe berechnest du dann die Spannung. So bekommst du ein Gefühl dafür, wie sich die Spannung im Kegel verteilt.

Viel Erfolg! Und wenn du mal nicht weiterweißt, schaue einfach unten in die Komplettlösung.

P.S.: Vergiss nicht, dass der Kegel aus einem bestimmten Material besteht. Das Material hat Einfluss auf die Spannung. Du musst also noch die Materialeigenschaften berücksichtigen.

P.P.S.: Ach ja, und die Einheiten! Pass auf, dass du die richtigen Einheiten verwendest. Sonst stimmt am Ende das Ergebnis nicht.

Schritt 1: Normalkraft \(N(x)\) anhand der Gleichgewichtsbedingungen bestimmen

Um die Normalkraft zu berechnen, schneiden wird den Stab an einem beliebigen Punkt \(x\) und tragen die äußere Kraft \(F_G\) und die innere Normalkraft \(N\) an.

Zur Erinnerung: Am positiven, linken Schnittufer tragen wir \(N\) in positiver (in Richtung der positiven x-Achse) Richtung an, am negativen, rechten Schnittufer hingegen in negativer (gegen die Richtung der positiven x-Achse) Richtung.

Bei dieser Aufgabe müssen wir beachten, dass die Gewichtskraft des "ab-"geschnittenen Kreiskegels von \(x\) abhängt: Je größer der geschnittene Kreiskegel, desto größer die Gewichtskraft dieses Kreiskegels (hier: \(F_{G1})\).

Zur Lösung dieser Aufgabe ist es eigentlich nicht erforderlich, auch den verbleibenden Kegelstumpf des Schnittes freizuschneiden. Aber der Vollständigkeit halber: Am rechten Schnittufer des Kegelstumpfes wirken zum einen die Reaktionsnormalkraft des Schnittes (hier heißt sie ebenfalls: \(N(x)\)) und zum anderen die Gewichtskraft des verbleibenden Kegelstumpfes (hier: \(F_{G2})\).

Dem entgegen wirkt die Lagerreaktion der Dachrinne, die der Gewichtskraft des gesamten Kreiskegels vor dem Schnitt entsprechen muss, da nur diese als äußere Belastung auftritt und sich der Eiszapfen in Ruhe befinden muss.

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