Übungsaufgabe F-1.1.3 TechMech 2 Festigkeitslehre

Aufgabe F-1.1.3

Einachsiger Spannungszustand: Belasteter homogener Stab mit konstanter Dicke und linear veränderlicher Breite

Aufgabenstellung

Ein homogener Stab mit konstanter Dicke $d=20~\mathrm{mm}$ und linear veränderlicher Breite wird durch eine Druckkraft $F=1~\mathrm{kN}$ belastet.

Der Stab steht auf einem angedeuteten Boden. Seine untere Grundfläche ist 2b x d, seine obere Grundfläche b x d. Seine Höhe ist mit h bemaßt. Von oben wird er von einer Kraft F, dargestellt durch einen nach unten gerichteten Pfeil, in seiner Symmetrieachse belastet. Die Laufkoordinate x läuft von unten nach oben. Die Erdbeschleunigung g ist mit einem Pfeil nach unten eingezeichnet. — Abb. 1: Homogener Stab mit konstanter Dicke und linear veränderlicher Breite

Geg.: $b=15~\mathrm{mm}$, $h=80~\mathrm{mm}$, $\varrho = 7,85~\mathrm{g/cm^3}$

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Querschnittsfläche $A(x)$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalkraft $N(x)$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?
Wie groß ist die Normalspannung $\sigma$ an der Stelle $x=30~\mathrm{mm}$ in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?

Kurzlösung

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Querschnittsfläche $A(x)$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?

$$ A(x) =b\cdot d \cdot \Bigl(2-\dfrac{x}{h}\Bigr) $$

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalkraft $N(x)$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?

$$ N(x) = \dfrac{1}{2} \varrho \cdot g \cdot b \cdot d \Bigl[x\Bigl(4 - \dfrac{x}{h}\Bigr) - 3h\Bigr] - F $$

Wie groß ist die Normalspannung $\sigma$ an der Stelle $x=30~\mathrm{mm}$ in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?

$$ \sigma(x=30~\mathrm{mm}) = -2,054 ~\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm^2}} $$

Ausführlicher Lösungsweg

Vorüberlegungen

Du willst den Spannungszustand im Stab knacken? Coole Sache! Aber keine Sorge, es ist easy peasy.

Entspann dich erstmal! Der Stab steht stabil da, der fällt nicht so schnell um. Die Druckkraft drückt zwar nach unten, auch die Gewichtskraft des Stabes. Aber die Lagerreaktion halten dagegen. So entsteht ein einachsiger Spannungszustand – alles easy, oder?

Du suchst letztendlich im Aufgabenteil c) die Normalspannung. Dafür brauchst du diese Formel:

$$ \begin{aligned} \sigma_x = \dfrac{N_x}{A} \end{aligned} $$

(1.3)

Okay, okay, sieht kompliziert aus, ist aber halb so wild.

$N_x$ ist die Normalkraft im Schnitt. Sie hängt von der Gewichtskraft des abgeschnittenen Stabteils ab. Und damit von der Position x im Stab: Je weiter oben du schneidest, desto weniger Stabmasse drückt nach unten, desto kleiner $N_x$.

$A$ ist die Querschnittsfläche des Stabes an der Stelle $x$. Je weiter oben du schneidest, desto kleiner wird die Fläche, desto kleiner $A$.

Du siehst, sowohl $N_x$ als auch $A$ ändern sich mit $x$. Deswegen musst du die Formel 1.3b verwenden, um die Spannung an jeder Stelle $x$ auszurechnen.

$$ \begin{aligned} \sigma(x) = \dfrac{N(x)}{A(x)} \end{aligned} $$

(1.3b)

Aber keine Panik! Mit ein bisschen Mathe und Geduld schaffst du das locker.

Tipp: Stell dir vor, du zerschneidest den Stab in ganz viele dünne Scheiben. Für jede Scheibe berechnest du dann die Spannung. So bekommst du ein Gefühl dafür, wie sich die Spannung im Stab verteilt.

Viel Erfolg! Und wenn du mal nicht weiterweißt, schaue einfach unten in die Komplettlösung.

P.S.: Vergiss nicht, dass der Stab aus einem bestimmten Material besteht. Das Material hat Einfluss auf die Spannung. Du musst also noch die Materialeigenschaften berücksichtigen.

P.P.S.: Ach ja, und die Einheiten! Pass auf, dass du die richtigen Einheiten verwendest. Sonst stimmt am Ende das Ergebnis nicht.

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Querschnittsfläche $A(x)$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?

Der Stab hat laut Aufgabenstellung eine konstante Dicke $d$ und eine linear veränderliche Breite $B(x)$:

Diese Abbildung zeigt, dass sich die Querschnittsfläche des Stabes mit der Position x verändert. — Abb. 2: Querschnittsfläche des Stabes

Die Querschnittsfläche ist an jeder Stelle $x$ rechteckförmig. Die Formel lautet also:

$$ \begin{align} \tag{1} A(x)=B(x) \cdot d \end{align} $$

> Wir müssen also den Faktor $B(x)$ als Funktion von $x$ ausdrücken, während der Faktor $d$ nicht von $x$ abhängt und konstant ist.

Wegen der Symmetrie der Breitenansicht und der konstanten Dicke $d$ können wir uns die Überlegungen etwas vereinfachen, denn wir brauchen nur den Bereich von der Symmetrielinie bis zur Außenlinie betrachten:

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