Übungsaufgabe F-1.1.4 TechMech 2 Festigkeitslehre

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Aufgabe F-1.1.4

Einachsiger Spannungszustand: Beliebiger Schnittwinkel

Aufgabenstellung

Ein eingespannter Balken mit quadratischem Querschnitt (Seitenlänge $d=20~\mathrm{mm}$) wird wie in Abbildung 1 dargestellt durch eine Zugkraft $F=10~\mathrm{kN}$ in der Balkenachse belastet.

Die Abbildung zeigt einen linksseitig eingespannten Balken mit quadratischem Querschnitt. In der Zeichung sind drei Schnittebenen a, b und c angedeutet. Die Schnittebene a ist senkrecht zur Balkenachse. Die Schnittebene b verläuft von links oben nach rechts unten, der gegebene Winkel Beta beschreibt den kleineren Winkel oben. Die Schnittebene c verläuft von links unten nach rechts oben, der gegebene Winkel Gamma beschreibt den kleineren Winkel unten. Die Seitenlänge des Querschnittes ist die Länge d. Am rechten Balkenende wirkt eine Zugkraft F im Schwerpunkt des Querschnitts. — Abb. 1: Eingespannter Balken

Bestimme die mittlere Normalspannung und die mittlere Schubspannung, die

in der Schnittebene a wirken.
in der Schnittebene b ($\beta = 50°$) wirken.
in der Schnittebene c ($\gamma = 40°$) wirken.

Kurzlösung

Bestimme die mittlere Normalspannung und die mittlere Schubspannung, die in der Schnittebene a wirken.

$$ \begin{aligned} \sigma_a &= 25~\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2 } = 25~\mathrm{MPa}\\ \tau_a &= 0~\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2 } = 0~\mathrm{MPa} \end{aligned} $$

Bestimme die mittlere Normalspannung und die mittlere Schubspannung, die in der Schnittebene b ($\beta = 50°$) wirken.

$$ \begin{aligned} \sigma_b &= 14,671~\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2 } = 14,671~\mathrm{MPa}~(\nearrow)\\ \tau_b &= -12,310~\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2 } = -12,310~\mathrm{MPa}~(\nwarrow) \end{aligned} $$

Bestimme die mittlere Normalspannung und die mittlere Schubspannung, die in der Schnittebene c ($\gamma = 40°$) wirken.

$$ \begin{aligned} \sigma_c &= 10,329~\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2 } = 10,329~\mathrm{MPa}~(\searrow)\\ \tau_c &= 12,310~\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2 } = 12,310~\mathrm{MPa}~(\nearrow) \end{aligned} $$

Ausführlicher Lösungsweg

Vorüberlegungen

Du willst den Spannungszustand für verschiedene Schnittwinkel im Balken knacken? Coole Sache! Aber keine Sorge, es ist easy peasy.

Entspann dich erstmal! Der Balken wird durch eine Kraft $F$ belastet, deren Wirkungslinie die Balkenachse ist. Es liegt also ein einachsiger Spannungszustand vor – alles easy, oder?

Jetzt ist es an der Zeit, deine Formeln hervorzukramen.

Du wirst Folgendes benötigen:

Senkrechter Schnitt zur Balkenachse:

$$ \begin{aligned} \sigma_x = \dfrac{N_x}{A} \end{aligned} $$

(1.3)
Beliebiger Schnittwinkel:

$$ \begin{aligned} \sigma_\xi &= \dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(1+\cos(2\varphi)\bigr) \end{aligned} $$

(1.4)

$$ \begin{aligned} \tau_{\xi\eta} &= -\dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(\sin(2\varphi)\bigr) \end{aligned} $$

(1.5_xy)

$$ \begin{aligned} \tau_{\xi\eta} &= \dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(\sin(2\varphi)\bigr) \end{aligned} $$

(1.5_xz)

Bevor wir uns in die Berechnung stürzen, müssen wir ein paar wichtige Punkte klären:

Welche Art von Belastung liegt vor? (Zug, Druck, ...)
Wie groß ist die Kraft?
Wie groß ist die Querschnittsfläche?
In welchem Winkel wird geschnitten?

Das war's dann auch schon mit der Theorie.

Im nächsten Schritt geht's dann an die praktische Anwendung! ️

Also, ran an die Arbeit und viel Erfolg!

Bestimme die mittlere Normalspannung und die mittlere Schubspannung, die in der Schnittebene a wirken.

Wir suchen die Normalspannung und die Schubspannung in einem senkrechten Schnitt zur Balkenachse. Die allgemeine Formel für die Normalspannung lautet:

$$ \begin{aligned} \sigma_x = \dfrac{N_x}{A} \end{aligned} $$

(1.3)

Die Schubspannung muss $0$ sein, da die äußere Kraft $F$ im senkrechten Schnitt nur eine Normalkraft und keine Querkraft bewirken kann.

Schritt 1: Normalkraft bestimmen

Um die Normalkraft zu berechnen, schneiden wird den Balken an der Schnittebene a und tragen die äußere Kraft $F$ und die innere Normalkraft $N$ an. Zur Erinnerung: Am positiven, linken Schnittufer tragen wir $N$ in positiver (in Richtung der positiven x-Achse) Richtung an, am negativen, rechten Schnittufer hingegen in negativer (gegen die Richtung der positiven x-Achse) Richtung.

Diese Grafik zeigt den an der Schnittfläche a geschnittenen Balken mit der Schnittreaktion Normalkraft. — Abb. 2: Normalkraft an der Schnittfläche a bestimmen

Um uns die Berechnung der Lagerreaktionen zu sparen (auch wenn hier offensichtlich nur eine Lagerreaktion auf der Stabachse entgegen der x-Richtung in Größe der Kraft $F$ wirken muss), stellen wir die horizontale Gleichgewichtsbedingung für den rechten Schnitt auf. Damit können wir die Normalkraft $N$ bestimmen:

$$ \begin{align} \tag{1} \rightarrow: F - N &= 0\\[7pt] \tag{2} N &= \underline{F} \end{align} $$

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