Übungsaufgabe S-1.1.6 TechMech 1 Starrkörperstatik

Aufgabe S-1.1.6

Zentrale Kräftesysteme - Erste Grundaufgabe: Reduktion auf eine Einzelkraft

Aufgabenstellung

Vier Personen ziehen einen Wagen an Seilen, die gemäß Skizze in die Zugöse der Deichsel eingehängt sind.

Central Force System — Abb. 1: Aufgabenstellung

Gegeben:

F₁=400 N, F₂=350 N, F₃=300 N, F₄=500 N

Bestimme den Betrag der resultierenden Kraft R.
Bestimme den Richtungswinkel $\alpha_R$ der Resultierenden zur horizontalen Linie durch die Deichsel.

Bevor es losgeht: Wichtiges für deine Mission

Bevor du dich in dieses Abenteuer stürzt, lass uns kurz checken, ob du für die Herausforderung gewappnet bist.

Um was geht's denn eigentlich?

Um welches Themengebiet handelt es sich hier eigentlich? Kannst du es begründen?

Alle Wirkungslinien der angreifenden Kräfte schneiden sich in einem Punkt. Es liegt also ein zentrales Kräftesystem vor.

Brauchst du noch etwas Nachhilfe?

Falls du dich mit zentralen Kräftesystemen nicht so richtig auskennst, keine Sorge! Hier findest du ein paar Auffrischungen:

Zeichnerische Lösung
Rechnerische Lösung

So, jetzt bist du fit für die Aufgabe!

Viel Erfolg!

Ausführlicher Lösungsweg

Um diese Aufgabe rechnerisch zu lösen, benötigst du für alle Kräfte des zentralen Kräftesystems jeweils den Winkel $\alpha$ von der positiven x-Achse zum Kraftvektor (gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt) sowie den Betrag.

Diese Abbildung zeigt einen Kraftvektor in 3 Positionen in einem x,y-Koordinatensystem. — Abb. 2: Allgemeiner Kraftvektor in der Ebene

Veranschauliche dir zunächst das zentrale Kräftesystem dieser Aufgabe. Zeichne ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung (0,0) in der Zugöse der Deichsel. Dies ist der Schnittpunkt der Wirkungslinien der vier Seilkräfte.

Zeichne dann die vier in diesem Schnittpunkt wirkenden Kräfte F₁, F₂, F₃ und F₄ ein.

Überlege, wie groß die Richtungswinkel $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ und $\alpha_4$ der Kräfte sind, und trage sie in deine Skizze ein. Der Richtungswinkel einer Kraft wird von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt. Das bedeutet auch: Du darfst den Richtungswinkel auch negativ von der positiven x-Achse mit dem Uhrzeigersinn antragen. Dies macht in der Berechnung der Komponenten keinen Unterschied.

Damit müsste deine Skizze etwa so aussehen:

Die gegebenen Werte für F₁, F₂, F₃, F₄, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ und $\alpha_4$ sind:

$$ \begin{alignat}{5} F_1 &= 400~\mathrm{N}\qquad \alpha_1 &&= 40° &&\\[7pt] F_2 &= 350~\mathrm{N}\qquad \alpha_2 &&= 0° &&\\[7pt] F_3 &= 300~\mathrm{N}\qquad \alpha_3 &&= 330° &&= -30°\\[7pt] F_4 &= 500~\mathrm{N}\qquad \alpha_4 &&= 320° &&= -40°\\[7pt] \end{alignat} $$

Bestimme den Betrag der resultierenden Kraft R.

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