Aufgabe S-1.2.1
Zentrale Kräftesysteme - Zweite Grundaufgabe: Gleichgewicht
Aufgabenstellung
Ermittle grafisch und analytisch, ob sich das abgebildete Kräftesystem im Gleichgewicht befindet.
Bevor es losgeht: Wichtiges für deine Mission
Bevor du dich in dieses Abenteuer stürzt, lass uns kurz checken, ob du für die Herausforderung gewappnet bist.
Um welches Themengebiet handelt es sich hier eigentlich? Kannst du es begründen?
Alle Wirkungslinien der angreifenden Kräfte schneiden sich in einem Punkt. Es liegt also ein zentrales Kräftesystem vor.
Falls du dich mit zentralen Kräftesystemen nicht so richtig auskennst, keine Sorge! Hier findest du ein paar Auffrischungen:
Viel Erfolg!
Zeichnerische Lösung
Okay, lass uns herausfinden, ob das abgebildete Kräftesystem im Gleichgewicht ist.
Du hast Glück! Der Lageplan des Systems ist schon da. Du siehst also, wo alle Kräfte angreifen, aber ein konkretes Objekt gibt es nicht. Stattdessen wirken sie alle im Ursprung eines x,y-Koordinatensystems. Quasi ein Treffpunkt der Kräfte!
Jetzt wird's spannend: Erstelle einen Kräfteplan, der uns mehr über die Kräfte verrät.
- Wähle einen Maßstab, der zu den gegebenen Kräften passt. \(1~\mathrm{LE}~\widehat{=}~ 1~\mathrm{N}\) könnte passen.
-
Rechne die Beträge der Kräfte in Längen um. So bekommen wir ein Gefühl für ihre Stärke.
$$ \begin{alignat}{3} \tag{1} F_1 &= 12~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 12~\mathrm{LE} \\[7pt] \tag{2} F_2 &= 9~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 9~\mathrm{LE} \\[7pt] \tag{3} F_3 &= 3~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 3~\mathrm{LE} \\[7pt] \tag{4} F_4 &= 7~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 7~\mathrm{LE} \\[7pt] \tag{5} F_5 &= 5~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 5~\mathrm{LE} \\[7pt] \tag{6} F_6 &= 6~\mathrm{N}~ &&\widehat{=}~ 6~\mathrm{LE} \end{alignat} $$
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Rechnerische Lösung
Um diese Aufgabe zu rechnerisch zu lösen, musst du alle Kräfte in ihre horizontalen (\(F_{i_x}\)) und vertikalen (\(F_{i_y}\)) Komponenten zerlegen. Dafür benötigst du für alle Kräfte des zentralen Kräftesystems jeweils den den Betrag sowie einen Winkel \(\alpha_i\). Dies kann der Richtungswinkel des Vektors mit Bezug zur positiven x-Achse sein. Besser wäre einer der spitzen Winkel des Kräftedreiecks aus Kraftvektor und seinen Komponenten, z.B. \(\alpha_{i_{Spitz}}\).
Du hast Glück! Der Lageplan des Systems ist dir schon mit der Aufgabenstellung gegeben. Und mit ihm die benötigten Beträge und Winkel der Einzelkräfte:
Gegeben:
Um eine Kraft in ihre Komponenten zu zerlegen, nutzen wir das Axiom vom Kräfteparallelogramm. In diesem Fall haben wir mit den Kräften jeweils die Diagonale des Kräfteparallelogramms gegeben und müssen die beiden Kräfte, die die Seiten des Parallelogramms bilden, bestimmen.
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