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Starrkörperstatik

Zentrale Kräftesysteme: Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt

In der Technischen Mechanik spielt die Analyse von Kräften, die auf ein Objekt wirken, eine zentrale Rolle. Ein wichtiger Spezialfall ist das zentrale Kräftesystem, bei dem alle diese Kräfte einen gemeinsamen Angriffspunkt besitzen. In diesem Kapitel befassen wir uns mit den Eigenschaften und der Analyse zentraler Kräftesysteme und erkunden:

  • Definition und Eigenschaften: Was ist ein zentrales Kräftesystem? Welche besonderen Eigenschaften zeichnen es aus?
  • Grundaufgaben der Starrkörperstatik für zentrale Kräftesysteme:
    • Reduktion: Ein System von mehreren Kräften auf einen einzigen Punkt (Kraftschwerpunkt) reduzieren.
    • Gleichgewicht: Bestimmen, ob ein Körper unter der Wirkung von Kräften in Ruhe bleibt oder sich bewegt.
    • Zerlegung: Eine Kraft in mehrere Einzelkräfte zerlegen.

Bist du bereit, diese Geheimnisse zu lüften?

Auf dieser Seite
Übungsaufgaben
Inhaltsverzeichnis

4. Zweite Grundaufgabe: Gleichgewicht

Zeichnerische Lösung
Mission: Gleichgewicht finden!

Stell dir vor, du hast es mit einem starren Körper zu tun, der von vier mysteriösen Kräften F1, F2, F3 und F4 belagert wird. Diese fiesen Kerle wollen den Körper aus der Ruhe bringen, aber du bist der smarte Held, der das Gleichgewicht rettet!

In unserem Lageplan in Abb. 3.4.1 siehst du die ganze Situation.

Diese Abbildung 3.4.1 zeigt den Lageplan zur Aufgabenstellung. Die Orientierung und Richtungen der Kräfte und ein Längenmaßstab sind angegeben.
Abb. 3.4.1: Lageplan

Die Wirkungslinien der Kräfte treffen sich alle in einem Punkt, so dass wir es mit einem zentralen Kraftsystem zu tun haben. Dein Ziel: Finde die geheime Bedingung, die diese fiesen Kräfte im Gleichgewicht hält!

Schritt 1: Zerlege und herrsche!

Um zu verstehen, wie wir vorgehen müssen, zerlegen wir die bösen Vier zuerst in zwei Teams: F1 und F2 gegen F3 und F4. In Abb. 3.4.2 im Kräfteplan siehst du die beiden Teams:

Diese Abbildung 3.4.2 zeigt den Kräfteplan zur Aufgabenstellung.
Abb. 3.4.2: Kräfteplan

Beide Teams haben ihren eigenen Startpunkt S12 bzw. S34 und ihren eigenen Endpunkt E.

Jetzt berechnen wir für jedes Team mithilfe des Kräfteparallelogramms die resultierende Kraft, die man sich als eine Superkraft vorstellen kann, die alle anderen Kräfte des Teams in sich vereint. Diese Superkräfte nennen wir R12 und R34.

Diese Abbildung 3.4.3 zeigt den Kräfteplan zur Aufgabenstellung mit seinen Resultierenden.
Abb. 3.4.3: Kräfteplan mit Resultierenden
Schritt 2: Die große Vereinigung!

Laut dem Gleichgewichtsaxiom (klingt cool, oder?) müssen die beiden Superkräfte R12 und R34 genau entgegengesetzt und gleich groß sein, damit der Körper im Gleichgewicht bleibt.

Diese Abbildung 3.4.4 zeigt den Kräfteplan zur Aufgabenstellung mit seinen Resultierenden, die gleich groß sind und entgegengesetzt wirken.
Abb. 3.4.4: Gleichgewicht der Resultierenden

Mathematisch ausgedrückt:

$$ \begin{align} \tag{1} \vec{R}_{12} &= -\vec{R}_{34} \end{align} $$

Jetzt kommt der Clou: Wir addieren die beiden Superkräfte vektormäßig. Das Ergebnis ist die resultierende Gesamtkraft R, die auf den Körper wirkt. Sind R12 und R34 gleich groß und entgegengesetzt gerichtet, dann wird die Gesamtkraft R = 0 sein und der Körper ist im Gleichgewicht.

Da

$$ \begin{align} \tag{2} \vec{R}_{12} &= \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} \end{align} $$

und

$$ \begin{align} \tag{3} \vec{R}_{34} &= \vec{F}_{3} + \vec{F}_{4} \end{align} $$

sind, erhalten wir die Bedingung für Gleichgewicht:

$$ \begin{align} \tag{4} \vec{R} &= \vec{R}_{12} + \vec{R}_{34} \\[7pt] \tag{5} &= \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}+\vec{F}_{3} + \vec{F}_{4} \\[7pt] \tag{6} &=\sum\limits^4_{i=1} \vec{F}_{i} \\[7pt] \tag{7} &= 0 \end{align} $$

Aha! Die Bedingung für das Gleichgewicht ist also, dass die vektorielle Summe aller Kräfte Null ergibt. Das bedeutet, dass alle Kräfte sich gegenseitig aufheben und der Körper brav in Ruhe bleibt.

Schritt 3: Zeichne den Sieg!

In der grafischen Darstellung im Kräfteplan in Abb. 3.4.5 ergibt sich für die Kräfte F1, F2, F3 und F4 ein geschlossenes Kräftepolygon. Das bedeutet: S = E, der Endpunkt E trifft genau auf den Startpunkt S. Das ist wie ein Zauberkreis, der die Kräfte im Gleichgewicht hält.

Diese Abbildung 3.4.5 zeigt das geschlossene Kräftepolygon der Kräfte F1, F2, F3 und F4.
Abb. 3.4.5: Geschlossenes Kräftepolygon
Zusammenfassung
  • Ein zentrales Kraftsystem ist im Gleichgewicht, wenn die vektorielle Summe aller Kräfte Null ist:
    $$ \begin{align} \tag{8} \vec{R} &=\sum\ \vec{F}_{i} = 0 \end{align} $$
  • Zeichnerisch: Das Kräftepolygon ist geschlossen und S = E.

So einfach ist das! Mit diesen Regeln bist du jedem zentralen Kraftsystem gewachsen.

Bonus: Diese Regel gilt nicht nur für 4 Kräfte, sondern allgemein für beliebig viele!