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Festigkeitslehre / Elastostatik

Thema: Flächenträgheitsmoment

Hier erfährst du, was ein Flächenträgheitsmoment (auch: Flächenmoment 2. Grades oder Flächenmoment 2. Ordnung) ist, wo in der technischen Mechanik es Anwendung findet und wie es berechnet wird.

Lass uns gemeinsam diese wichtigen Konzepte erkunden.

Auf dieser Seite
Übungsaufgaben
Inhaltsverzeichnis

2. Berechnungsmethoden für beliebige Flächen

Im Folgenden werden wir die Berechnungsmethoden für die Flächenträgheitsmomente \(I_y\), \(I_z\) und \(I_{yz}\) für Flächen beliebiger Form unter Verwendung von kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten erläutern. Es stehen insgesamt sechs verschiedene Herangehensweisen zur Verfügung, von denen im folgenden vier näher vorgestellt und mit je einem Beispiel verdeutlicht werden. Welche davon genutzt werden sollte, hängt zum einen davon ab, wie wir das infinitesimale Flächenelement \(dA\), wie es in den Gleichungen (6.2) - (6.4) enthalten ist, konstruieren können und zum anderen, ob kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten verwendet werden.

2.1 Verwendung kartesischer Koordinaten

2.1.1 Infinitesimales Flächenelement

Wir arbeiten mit einem winzigen Flächenelement \(dA\), das die Seitenlängen \(dy\) und \(dz\) hat, wie in Abbildung 6.2.1 dargestellt.

Ein rechteckiges Flächenelement dA mit den Seitenlängen dy und dz wird in einer beliebigen Querschnittsfläche exemplarisch dargestellt. Seine Position wird anhand eines beliebig angeordneten, gelben x,y,z-Koordinatensystems mit den Variablen y und z bemaßt.
Abb. 6.2.1: Berechnungsmethode infinitesimales Flächenelement in kartesischen Koordinaten

Da dieses Flächenelement infinitesimal in beiden Koordinatenrichtungen ist, benötigen wir ein Doppelintegral, um die Berechnung durchzuführen:

$$ \begin{align} I_y&= \int\limits_{(A)} z^2 \ \mathrm{d}A = \int\limits_{(y)} \int\limits_{(z(y))} z^2 \ \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\[7pt] I_z&= \int\limits_{(A)} y^2 \ \mathrm{d}A = \int\limits_{(y)} \int\limits_{(z(y))} y^2 \ \mathrm{d}y \mathrm{d}z\\[7pt] I_{yz} &= -\int\limits_{(A)} y \cdot z \ \mathrm{d}A = -\int\limits_{(y)} \int\limits_{(z(y))} y \cdot z \ \mathrm{d}y \mathrm{d}z \end{align} $$

(6.5)

Um diese Formel anwenden zu können, ist es erforderlich, den funktionalen Zusammenhang \(z(y)\) zu ermitteln. Sollte dies nicht möglich sein, besteht als alternative Option die Verwendung der Integrationsgrenzen \(z\) und \(y(z)\).

Beispiel 6.1: Bestimme Flächenträgheitsmoment für beliebige Flächen mit der Berechnungsmethode infinitesimales Flächenelement in kartesischen Koordinaten

Für die abgebildete Viertelkreisfläche sind folgende Flächenträgheitsmomente bezüglich des dargestellten \(y\), \(z\)-Koordinatensystems unter Verwendung der Berechnungsmethode infinitesimales Flächenelement in kartesischen Koordinaten zu bestimmen:

Ein rechteckiges Flächenelement dA mit den Seitenlängen dy und dz wird in einer Viertelkreisfläche exemplarisch dargestellt. Gelbes Koordinatensystem, y nach links positiv, z nach unten positiv. Position des Flächenelementes ist mit y und z vom Urprung bemaßt.
Abb. B6.1.1: Viertelkreisfläche
  1. axiales Flächenträgheitsmoment \(I_y\)
  2. axiales Flächenträgheitsmoment \(I_z\)
  3. biaxiales Flächenträgheitsmoment \(I_{yz}\)
Lösung

Um die geforderte Berechnungsmethode anwenden zu können, ist es erforderlich, den funktionalen Zusammenhang \(z(y)\) zu ermitteln.

Diesen finden wir, wenn wir uns für den (Viertel-) Kreis den Zusammenhang von einem beliebigen Wert \(y\), dem dazugehörigen Wert \(z(y)\) und dem Radius des (Viertel-) Kreises verdeutlichen:

Abbildung
Abb. B6.1.2: Kreisgleichung

Wir erkennen ein rechtwinkliges Dreieck, und mithilfe des Satzes der Pythagoras erhalten wir die Kreisgleichung

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