Zum Hauptinhalt springen Skip to page footer
TechMechAcademy logo TechMechAcademy logo

Festigkeitslehre / Elastostatik

Thema: Flächenträgheitsmoment

Hier erfährst du, was ein Flächenträgheitsmoment (auch: Flächenmoment 2. Grades oder Flächenmoment 2. Ordnung) ist, wo in der technischen Mechanik es Anwendung findet und wie es berechnet wird.

Lass uns gemeinsam diese wichtigen Konzepte erkunden.

Auf dieser Seite
Übungsaufgaben
Inhaltsverzeichnis

2.1.2 Vertikaler infinitesimaler Flächenstreifen

In Abbildung 6.2.2 verwenden wir anstelle eines winzigen Flächenelements \(\mathrm{d}A\), das die Seitenlängen \(\mathrm{d}y\) und \(\mathrm{d}z\) hat (Abbildung 6.2.1), einen vertikal angeordneten, infinitesimalen Flächenstreifen der Dicke \(\mathrm{d}y\), der parallel zur \(z\)-Achse verläuft. Dadurch haben alle Punkte auf dem Streifen dieselbe \(y\)-Koordinate in Bezug zur \(z\)-Achse.

Vertikaler Flächenstreifen in beliebiger Fläche. Beliebig angeordnetes x,y,z-Koordinatensystem, y nach links positiv, z nach unten positiv. Flächenstreifen an Position y, Höhe ist h(y), Breite ist dy.
Abb. 6.2.2: Berechnungsmethode vertikaler infinitesimaler Flächenstreifen in kartesischen Koordinaten

Die Höhe \(h(y)\) des Flächenstreifens hängt von der \(y\)-Koordinate ab. Daher ergibt sich für das Flächenelement \(\mathrm{d}A\) in den Formeln (6.2), (6.3) und (6.4) die Berechnung

$$ \begin{align} \tag{1} \mathrm{d}A &= h(y) \cdot \mathrm{d}y \end{align} $$

Um die Berechnung der Flächenträgheitsmomente mit dieser Methode durchführen zu können, ist es erforderlich, dass die funktionale Beziehung \(h(y)\) ermittelt werden kann. Damit erhalten wir die obere und untere Begrenzungsfunktion, die für jedes \(y\) die obere \(\left(z^+(y)\right)\) und untere \(\left(z^-(y)\right)\) Begrenzung des Flächendifferentiales liefert.

Damit gilt für jedes beliebige y:

$$ \begin{align} \tag{2} h(y) &= \int\limits_{z^-(y)}^{z^+(y)} \mathrm{d}z \end{align} $$

Wir können damit für jedes beliebige \(y\) die infinitesimalen Flächenträgheitsmomente nach den Formeln (6.2) und (6.4) bestimmen, indem wir die Gleichungen (1) und (2) nutzen und die unabhängige Variable \(y\) konstant halten:

$$ \begin{alignat}{9} \tag{3} I_y&= \int\limits_{(A)} z^2 \ \mathrm{d}A \quad &&\Rightarrow \quad &&\mathrm{d}I_y(y) &&= \left( \int\limits_{z^-(y)}^{z^+(y)} z^2 \ \mathrm{d}z\right)\ \mathrm{d}y &&= \dfrac{1}{3} \left[ \left(z^+(y)\right)^3 - \left(z^-(y)\right)^3 \right]\ \mathrm{d}y \\[7pt] \tag{4} I_z&= \int\limits_{(A)} y^2 \ \mathrm{d}A \quad &&\Rightarrow \quad &&\mathrm{d}I_z(y) &&= y^2 \left( \int\limits_{z^-(y)}^{z^+(y)} \ \mathrm{d}z\right)\ \mathrm{d}y &&= y^2 \left[ z^+(y) - z^-(y)\right]\ \mathrm{d}y \\[7pt] \tag{5} I_{yz} &= -\int\limits_{(A)} y \cdot z \ \mathrm{d}A \quad &&\Rightarrow \quad &&\mathrm{d}I_{yz}(y) &&= -y \left( \int\limits_{z^-(y)}^{z^+(y)} z \ \mathrm{d}z\right)\ \mathrm{d}y &&= -\dfrac{1}{2}y \left[ \left(z^+(y)\right)^2 - \left(z^-(y)\right)^2 \right]\ \mathrm{d}y \end{alignat} $$

Wir erhalten die gesuchten Flächenträgheitsmomente für die gesamte Fläche, indem wir die infinitesimalen Größen \(\mathrm{d}I_y(y)\), \(\mathrm{d}I_z(y)\) und \(\mathrm{d}I_{yz}(y)\) über die unabhängige Variable \(y\) aufsummieren, also integrieren:

$$ \begin{alignat}{3} \tag{6} I_y&= \int\limits_{y_1}^{y_2} \mathrm{d}I_y(y) &&= \dfrac{1}{3} \int\limits_{y_1}^{y_2}\left[ \left(z^+(y)\right)^3 - \left(z^-(y)\right)^3 \right]\ \mathrm{d}y \\[7pt] \tag{7} I_z&= \int\limits_{y_1}^{y_2} \mathrm{d}I_z(y) &&= \int\limits_{y_1}^{y_2} y^2 \left[ z^+(y) - z^-(y)\right]\ \mathrm{d}y \\[7pt] \tag{8} I_{yz} &= \int\limits_{y_1}^{y_2} \mathrm{d}I_{yz}(y) &&= -\dfrac{1}{2}\int\limits_{y_1}^{y_2} y \left[ \left(z^+(y)\right)^2 - \left(z^-(y)\right)^2 \right]\ \mathrm{d}y \end{alignat} $$

Im Vergleich zur Formel (6.5) vereinfacht sich durch diese Berechnungsmethode im Grunde nur die Gleichung (7) für \(I_z\), da für den vertikalen Flächenstreifen gilt:

$$ \begin{align} \tag{9} z^+(y) - z^-(y) &= h(y) \end{align} $$

Wir erhalten also als Ergebnis

$$ \begin{align} \tag{1} I_y&= \int\limits_{(A)} z^2 \ \mathrm{d}A = \dfrac{1}{3}\int\limits_{y_1}^{y_2} \left[ \left(z^+(y)\right)^3 - \left(z^-(y)\right)^3 \right]\ \mathrm{d}y \\[7pt] \tag{2} I_z&= \int\limits_{(A)} y^2 \ \mathrm{d}A = \int\limits_{y_1}^{y_2} y^2 \cdot h(y)\ \mathrm{d}y \\[7pt] \tag{3} I_{yz} &= -\int\limits_{(A)} y \cdot z \ \mathrm{d}A = -\dfrac{1}{2}\int\limits_{y_1}^{y_2} y \left[ \left(z^+(y)\right)^2 - \left(z^-(y)\right)^2 \right]\ \mathrm{d}y \qquad \end{align} $$

(6.6)

Beispiel 6.2: Bestimme Flächenträgheitsmoment für beliebige Flächen mit der Berechnungsmethode vertikaler infinitesimaler Flächenstreifen in kartesischen Koordinaten

Für die abgebildete Viertelkreisfläche sind folgende Flächenträgheitsmomente bezüglich des dargestellten \(y\), \(z\)-Koordinatensystems unter Verwendung der Berechnungsmethode vertikaler infinitesimaler Flächenstreifen in kartesischen Koordinaten zu bestimmen:

Ein vertikaler Flächenstreifen dA(y) mit den Seitenlängen dy und z(y) wird in einer Viertelkreisfläche exemplarisch dargestellt. Gelbes Koordinatensystem, y nach links positiv, z nach unten positiv. Position des Flächenelementes ist mit y vom Urprung bemaßt.
Abb. B6.2.1: Viertelkreisfläche
  1. axiales Flächenträgheitsmoment \(I_y\)
  2. axiales Flächenträgheitsmoment \(I_z\)
  3. biaxiales Flächenträgheitsmoment \(I_{yz}\)
Lösung

Um die geforderte Berechnungsmethode anwenden zu können, ist es erforderlich, den funktionalen Zusammenhang \(h(y) = z(y)\) und damit auch die obere und untere Begrenzungsfunktion \(z^+(y)\) und \(z^-(y\)) zu ermitteln.

Abbildung
Abb. B6.2.2: Funktionaler Zusammenhang, Kreisgleichung

Wie in Abb. B6.2.2 zu sehen, ist die untere Begrenzungsfunktion

$$ \begin{align} \tag{B6.2-1} z^-(y) &= 0 \end{align} $$

, also die \(y\)-Achse.

Weiterlesen mit TechMechAcademy+

Alles. Immer. Überall.

Mit TechMechAcademy+ vollen Zugriff auf alle Inhalte.

Für Einsteiger: TechMechAcademy+. Voller Zugriff auf alle Inhalte für einen Tag.

Die Vorteile im Überblick:

  • Kostengünstigstes Angebot.
  • Ideal, wenn du für kurze Zeit Zugriff auf bereits identifizierte Inhalte benötigst.
  • Unbegrenzter Zugriff auf alle vorhandenen und neu erstellten Inhalte während der gesamten Premiummitgliedschaft.
  • Garantierte Premiummitgliedschaft für 24 Stunden. Der Zugang endet automatisch um 0:00 MEZ (Mitteleuropäische Zeit) am darauffolgenden Tag. Keine Kündigung notwendig.

3,99 €

TechMechAcademy+. Voller Zugriff auf alle Inhalte für eine Woche.

Die Vorteile im Überblick:

  • Kostengünstiges Angebot.
  • Ideal für kurzfristige Prüfungsvorbereitung mit den Inhalten von TechMechAcademy.
  • Unbeschränkter Zugang zu sämtlichen bestehenden und frisch erstellten Inhalten im Rahmen der gesamten Premiummitgliedschaft.
  • Die Premiummitgliedschaft ist für einen garantierten Zeitraum von einer Woche gültig. Der Zugang beginnt am Tag der Aktivierung und endet automatisch um 0:00 MEZ (Mitteleuropäische Zeit) am darauffolgenden Tag der Folgewoche. Keine Kündigung notwendig.

9,99 €

Bestseller: TechMechAcademy+. Voller Zugriff auf alle Inhalte für einen Monat.

Die Vorteile im Überblick:

  • Profitiere vom Bestseller.
  • Ideal für effektive Prüfungsvorbereitung mit den Inhalten von TechMechAcademy.
  • Unlimitierter Zugriff auf alle bereits vorhandenen und neu geschaffenen Inhalte während der gesamten Dauer der Premiummitgliedschaft.
  • Die Premiummitgliedschaft ist für einen garantierten Zeitraum von einem Monat gültig. Der Zugang beginnt am Tag der Aktivierung und endet automatisch um 0:00 MEZ (Mitteleuropäische Zeit) am darauffolgenden Tag des Folgemonats. Keine Kündigung notwendig.

14,99 €

Werde ein TechMechAcademy+ Premiummitglied!

Bist du bereits ein TechMechAcademy+ Premiummitglied? Dann logge dich bitte hier ein, um den vollen Zugriff auf alle Inhalte zu genießen.