4. Flächenträgheitsmoment für zusammengesetzte Flächen berechnen
4.1 Einleitung
Im zweiten Kapitel haben wir gelernt, wie man für jede beliebige Fläche und jedes Koordinatensystem die Flächenträgheitsmomente mithilfe von Integration berechnen kann. Im vorherigen Abschnitt wurde der Satz von Steiner eingeführt.
Damit sind wir jetzt in der Lage, das Flächenträgheitsmoment für Querschnittsflächen zu berechnen, die durch integrierbare Funktionen beschrieben werden, und zwar relativ zu dem benutzten Koordinatensystem. Damit können wir beispielsweise das Flächenträgheitsmoment für ein Rechteck, ein Dreieck, einen Kreis oder einen Viertelkreis bestimmen.
Zusätzlich können wir, indem wir die "Steiner-Anteile" des Satzes von Steiner verwenden, das Flächenträgheitsmoment für die Schwerpunktachsen der Fläche berechnen, selbst wenn diese nicht mit unserem gewählten Koordinatensystem übereinstimmen.
Schließlich ermöglicht uns der Satz von Steiner, die Flächenträgheitsmomente bezogen auf beliebige parallele Achsen umzurechnen, indem wir sie von den Schwerpunktachsen um die benötigten Abstände verschieben.
Mit diesem Wissen sind wir in der Lage, das Flächenträgheitsmoment auch für Querschnittsflächen zu berechnen, die wir nicht durch integrierbare Funktionen beschreiben können. Die Voraussetzung hierfür ist, dass eine solche Querschnittsfläche aus Formen, die wir berechnen können, zusammengesetzt ist.
Ein einfaches Beispiel für eine solche Querschnittsfläche sehen wir in Abb. 6.4.1:
Für diese Querschnittsfläche bestehen verschiedene Möglichkeiten, sie aus einfachen, zusammengesetzen Formen darzustellen:
Eine alternative Wahl der Rechteckflächen zeigt Abb. 6.4.3:
Neben der Addition von Flächen besteht zudem die Möglichkeit, Aussparungen als "negative" Flächen zu behandeln. Sie werden von einer größeren Teilfläche abgezogen:
Die Abbildungen 6.4.2 bis 6.4.4 beschreiben einfache Teilflächen, die zusammengesetzt (bzw. per Subtraktion) den L-förmigen Querschnitt aus der Abbildung 6.4.1 ergeben.
Im nächsten Schritt nutzen wir die Tatsache, dass wir die Flächenträgheitsmomente in den Einzelschwerpunkten der einfachen Teilflächen kennen oder berechnen können, um das Flächenträgheitsmoment der zusammengesetzen Fläche bestimmen zu können.