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Festigkeitslehre / Elastostatik

Spannungszustand: Tauche ein in die Welt der Kräfte und Spannungen!

Bist du bereit für eine spannende Reise in die Welt der Physik? Dann schnallt dich an und entdecke mit uns die Geheimnisse des Spannungszustands!

Was ist Spannung? Stell dir vor, du baust ein riesiges Lego-Bauwerk. Die einzelnen Steine drücken und ziehen aneinander – genau das ist Spannung! In diesem Kurs lernst du, wie man diese Kräfte berechnet und versteht.

Spannungskomponenten: Zerlege die Spannung in ihre Einzelteile und entdecke, wie sie zusammenwirken. So wie ein Puzzle aus vielen Teilen besteht, setzt sich auch die Spannung aus verschiedenen Komponenten zusammen.

Berechnung: Knacke den Code der Spannungsberechnung! Mit ein paar cleveren Formeln und Werkzeugen kannst du die Kräfte in jedem Bauteil bestimmen.

Transformation: Spannungen ändern sich je nach Blickwinkel. Lerne, wie du sie in verschiedene Schnittebenen transformierst und so die ganze Geschichte der Belastung im Bauteil sichtbar machst.

Maximale Spannungen: Wo lauert die größte Gefahr? Finde heraus, wo im Bauteil die Spannungen am höchsten sind und wie du sie minimieren kannst.

Mohrscher Spannungskreis: Dieses geniale Werkzeug hilft dir, Spannungen zu visualisieren und wichtige Informationen auf einen Blick zu erfassen.

Entdecke die Faszination des Spannungszustands! In diesem Kurs lernst du nicht nur trockenes Wissen, sondern tauchst ein in die Welt der Ingenieurkunst. Mit guten Erklärungen und spannenden Anwendungsbeispielen wird der Spannungszustand zum Kinderspiel.

Gemeinsam sind wir stark! Wir begleiten dich auf deiner Reise und helfen dir, die komplexen Konzepte des Spannungszustands zu verstehen. Mit unserer Unterstützung meisterst du jede Herausforderung und wirst zum Experten für stabile Konstruktionen.

Also, worauf wartest du noch? Starte jetzt deine Reise in die Welt der Spannungen!

Auf dieser Seite
Übungsaufgaben
Inhaltsverzeichnis

Schritt 4: Aus den bisherigen Ergebnissen die Formeln für die Normalspannung \(\sigma_\xi\) und die Schubspannung \(\tau_{\xi\eta}\) herleiten

Spannung pur - Knacke die Formelcodes!

Hey, Mathe-Genie! Bereit für die nächste Mission? Diesmal jagen wir die Formeln für die Normal- und Schubspannung bei einem beliebigen Schnittwinkel \(\varphi\).

Diese Abbildung zeigt eine Schnittfläche unter einem beliebigen Schnittwinkel Phi und die in dieser Fläche wirkenden Normal- und Schubspannungen.
Abb. 1.2.11: Kräfte und Spannungen am gedrehten \(x\),\(y\)-Koordinatensystem
Normalspannung \(\sigma_\xi\)

Zuerst knacken wir den Code für \(\sigma_\xi\):

$$ \begin{align} \tag{1} \sigma_\xi = \dfrac{N_\xi}{A^*} \end{align} $$

Mit etwas Trigonometrie-Magie und unseren bisherigen Ergebnissen zaubern wir die Formel:

$$ \begin{align} \tag{2} \sigma_\xi &= \dfrac{N_x \cdot \cos(\varphi)}{\dfrac{A}{\cos(\varphi)}}\\[10pt] \tag{3} \sigma_\xi &= \dfrac{N_x \cdot \cos(\varphi) \cdot \cos(\varphi)}{A}\\[10pt] \tag{4}\sigma_\xi &= \dfrac{N_x}{A} \cdot \cos^2(\varphi) \end{align} $$

Diese Gleichung können wir noch etwas vereinfachen. Da \(\sigma_x = \frac{N_x}{A}\) gilt, erhalten wir

$$ \begin{align} \tag{5} \sigma_\xi = \sigma_x \cdot \cos^2(\varphi) \end{align} $$

Hui, ganz schön elegant, oder? \(\sigma_x\) kennen wir ja schon und \(\varphi\) ist einfach der Schnittwinkel. Aber Moment, da geht noch mehr! Mit einer weiteren trigonometrischen Formel können wir die Gleichung vereinfachen: Aus

$$ \begin{align} \tag{6} \cos^2(\varphi) = \dfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(2\varphi)\bigr) \end{align} $$

folgt

$$ \begin{aligned} \sigma_\xi = \dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(1+\cos(2\varphi)\bigr) \end{aligned} $$

(1.4)

Siehst du? Jetzt haben wir die Formel für \(\sigma_\xi\) in ihrer ganzen Pracht!

Schubspannung \(\tau_{\xi\eta}\)

Weiter geht's mit der Schubspannung \(\tau_{\xi\eta}\). Die Formel ist ähnlich, aber wir müssen aufpassen:

$$ \begin{align} \tag{7} \tau_{\xi\eta} = \dfrac{Q_\eta}{A^*} \end{align} $$

Erneut zaubern wir mit etwas Trigonometrie-Magie und unseren bisherigen Ergebnissen die Formel:

$$ \begin{align} \tag{8} \tau_{\xi\eta} &= \dfrac{N_x \cdot \sin(\varphi)}{\dfrac{A}{\cos(\varphi)}}\\[10pt] \tag{9} \tau_{\xi\eta} &= \dfrac{N_x \cdot \sin(\varphi) \cdot \cos(\varphi)}{A}\\[10pt] \tag{10} \tau_{\xi\eta} &= \dfrac{N_x}{A} \cdot \sin(\varphi) \cdot \cos(\varphi) \end{align} $$

Diese Gleichung können wir noch etwas vereinfachen. Da \(\sigma_x = \frac{N_x}{A}\) gilt, erhalten wir

$$ \begin{align} \tag{11} \tau_{\xi\eta} = \sigma_x \cdot \sin(\varphi) \cdot \cos(\varphi) \end{align} $$

Mit einer weiteren trigonometrischen Formel können wir die Gleichung vereinfachen: Aus

$$ \begin{align} \tag{12} \sin(\varphi) \cdot \cos(\varphi) = \dfrac{1}{2}\bigl(\sin(2\varphi)\bigr) \end{align} $$

folgt

$$ \begin{align} \tag{13} \tau_{\xi\eta} = \dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(\sin(2\varphi)\bigr) \end{align} $$

Achtung! Diese Formel gilt nur für ein Koordinatensystem, in dem die Schubspannung nach unten rechts positiv ist.

Warum? Erinnern wir uns an dieser Stelle an das Vorzeichen der Schubspannung. Es hängt nämlich vom verwendeten Koordinatensystem ab.

Und wir sind von einer nach rechts unten positiven Schubspannung ausgegangen. Das kannst du im Kräftedreieck der Abbildung 1.2.10 nochmal überprüfen.

In anderen Koordinatensystemen müssen wir das Vorzeichen anpassen.

Formel-Wunder für gedrehte Koordinatensysteme:
  • \(x\),\(y\)-System
    $$ \begin{aligned} \tau_{\xi\eta} = -\dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(\sin(2\varphi)\bigr) \end{aligned} $$

    (1.5xy)

  • \(x\),\(z\)-System
    $$ \begin{aligned} \tau_{\xi\eta} = \dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(\sin(2\varphi)\bigr) \end{aligned} $$

    (1.5xz)

Geschafft! Mit diesen Formeln kannst du die Normal- und Schubspannung bei jedem Schnittwinkel berechnen.

Übrigens: Diese Formeln sind zwar genial, aber nicht unfehlbar. Vergiss nicht, die Einheiten im Auge zu behalten!

P.S.: Lust auf mehr Mathe-Action? Dann schau dir die trigonometrischen Beziehungen genauer an. Da gibt's noch mehr spannende Geheimnisse zu lüften!

Extra Tipp: Diese Formeln sind super praktisch, wenn du Spannungen in Bauteilen berechnen musst. So kannst du zum Beispiel herausfinden, ob ein Bauteil einer bestimmten Belastung standhält. ️