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Festigkeitslehre / Elastostatik

Spannungszustand: Tauche ein in die Welt der Kräfte und Spannungen!

Bist du bereit für eine spannende Reise in die Welt der Physik? Dann schnallt dich an und entdecke mit uns die Geheimnisse des Spannungszustands!

Was ist Spannung? Stell dir vor, du baust ein riesiges Lego-Bauwerk. Die einzelnen Steine drücken und ziehen aneinander – genau das ist Spannung! In diesem Kurs lernst du, wie man diese Kräfte berechnet und versteht.

Spannungskomponenten: Zerlege die Spannung in ihre Einzelteile und entdecke, wie sie zusammenwirken. So wie ein Puzzle aus vielen Teilen besteht, setzt sich auch die Spannung aus verschiedenen Komponenten zusammen.

Berechnung: Knacke den Code der Spannungsberechnung! Mit ein paar cleveren Formeln und Werkzeugen kannst du die Kräfte in jedem Bauteil bestimmen.

Transformation: Spannungen ändern sich je nach Blickwinkel. Lerne, wie du sie in verschiedene Schnittebenen transformierst und so die ganze Geschichte der Belastung im Bauteil sichtbar machst.

Maximale Spannungen: Wo lauert die größte Gefahr? Finde heraus, wo im Bauteil die Spannungen am höchsten sind und wie du sie minimieren kannst.

Mohrscher Spannungskreis: Dieses geniale Werkzeug hilft dir, Spannungen zu visualisieren und wichtige Informationen auf einen Blick zu erfassen.

Entdecke die Faszination des Spannungszustands! In diesem Kurs lernst du nicht nur trockenes Wissen, sondern tauchst ein in die Welt der Ingenieurkunst. Mit guten Erklärungen und spannenden Anwendungsbeispielen wird der Spannungszustand zum Kinderspiel.

Gemeinsam sind wir stark! Wir begleiten dich auf deiner Reise und helfen dir, die komplexen Konzepte des Spannungszustands zu verstehen. Mit unserer Unterstützung meisterst du jede Herausforderung und wirst zum Experten für stabile Konstruktionen.

Also, worauf wartest du noch? Starte jetzt deine Reise in die Welt der Spannungen!

Auf dieser Seite
Übungsaufgaben
Inhaltsverzeichnis

Für welche Schnittwinkel \(\varphi\) sind die Normalspannung \(\sigma_\xi\) und die Schubspannung \(\tau_{\xi\eta}\) maximal?

Hey, maximal spannendes Thema, oder?

Jetzt geht's darum, wann die Normalspannung und die Schubspannung im einachsigen Spannungszustand am größten sind. Also, schnall dich an, es wird spannend!

Stellen wir uns vor, wir haben einen Stab:
  • An einem Ende wird er gedehnt oder gestaucht.
  • Im Inneren des Stabs herrschen dann Spannungen.
  • Diese Spannungen können wir in Normalspannungen und Schubspannungen zerlegen.
Okay, aber wann sind diese Spannungen nun am größten?

Um uns die Lösung zu verdeutlichen, kramen wir erstmal die in den vorherigen Schritten entwickelten Formeln für Normalspannungen und Schubspannungen hervor:

Normalspannung für gedrehte Koordinatensysteme/beliebige Schnittwinkel:
$$ \begin{aligned} \sigma_\xi = \dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(1+\cos(2\varphi)\bigr) \end{aligned} $$

(1.4)

Schubspannung für gedrehte Koordinatensysteme/beliebige Schnittwinkel:
  • \(x\),\(y\)-System
    $$ \begin{aligned} \tau_{\xi\eta} = -\dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(\sin(2\varphi)\bigr) \end{aligned} $$

    (1.5xy)

  • \(x\),\(z\)-System
    $$ \begin{aligned} \tau_{\xi\eta} = \dfrac{\sigma_x}{2}\bigl(\sin(2\varphi)\bigr) \end{aligned} $$

    (1.5xz)

Interessant: Die Schnittwinkel \(\varphi\), bei denen die Normal- und Schubspannung jeweils maximal werden, treten in der Sinus- und in der Kosinusfunktion auf.

Schauen wir uns diese beiden Funktionen deshalb mal genauer an:
Diese Abbildung zeigt die Sinus- und Kosinunsfunktionen im Bereich -Pi/2 bis 2Pi.
Abb. 1.2.12: Sinus- und Kosinusfunktion

Für unseren Schnittwinkel \(\varphi\) ist eigentlich nur ein kleiner Ausschnitt der Abbildung interessant: der zwischen \(\varphi=0\) (senkrechter Schnitt) und \(\varphi=90°\), was im (Bogenmaß) \(\varphi=\frac{\pi}{2}\) entspricht.

Aha! Da gibt's ja tolles zu entdecken!
  • die Sinuskurve erreicht ihren Minimalwert von 0 bei \(\varphi=0\) und ihren Maximalwert von 1 bei \(\varphi=\frac{\pi}{2}\).
  • die Kosinuskurve erreicht ihren Minimalwert von 0 bei \(\varphi=\frac{\pi}{2}\) und ihren Maximalwert von 1 bei \(\varphi=0\).
Wirklich toll, aber wann sind die Spannungen nun am größten?
Los geht's mit der Normalspannung:
  • In Gl.(1.4) finden wir den Kosinus - der ist maximal, wenn sein Argument 0 ist, also für \(\varphi=0\).
  • Also ist die Normalspannung am größten, wenn du den Stab quer durchschneidest.
  • Also genau senkrecht zur Stabachse.
  • In diesem Fall ist die Schubspannung gleich null.
  • Kannst du dir das vorstellen? Sozusagen der "stärkste" Schnitt.
Und die Schubspannung?
  • In Gl.(1.5xy) und (1.5xz) finden wir den Sinus - der ist maximal, wenn sein Argument \(\frac{\pi}{2}\) ist.
  • Vorsicht, Falle! Da der Winkel \(\varphi\) als Argument nicht alleine, sondern mit dem Faktor 2 vorkommt, gilt in diesem Fall nicht \(\varphi=\frac{\pi}{2}\), sondern \(\varphi=\frac{\pi}{4}\)!
  • Also ist die Schubspannung am größten, wenn du den Stab in einem Winkel von 45 Grad zur Stabachse durchschneidest.
  • Merke dir: 45 Grad ist die magische Zahl!
  • In diesem Fall ist die Normalspannung halb so groß wie die maximale Normalspannung.
Hier noch der formelmäßige Nachweis, falls nötig:
$$ \begin{align} \tag{1} \lvert \sigma_{\xi(max)} \rvert &= \lvert \sigma_{\xi(\varphi=0°)} \rvert = \dfrac{\lvert \sigma_x \rvert}{2}\bigl(1+\cos(2 \cdot 0°)\bigr) = \dfrac{\lvert \sigma_x \rvert}{2}\bigl(1+1\bigr) = \dfrac{\lvert \sigma_x \rvert}{2} \cdot 2 = \underline{\underline{\lvert \sigma_x \rvert}} \\[10pt] \tag{2} \lvert \tau_{\xi\eta(max)} \rvert &= \lvert \tau_{\xi\eta(\varphi=45°)} \rvert =\dfrac{\lvert \sigma_x \rvert}{2}\bigl(\sin(2 \cdot 45°)\bigr) =\dfrac{\lvert \sigma_x \rvert}{2}\cdot \bigl(1\bigr) = \underline{\underline{\dfrac{\lvert \sigma_x \rvert}{2}}} \end{align} $$
Alles klar?
Hier noch mal die wichtigsten Punkte:
  • Maximale Normalspannung
    • Senkrechter Schnitt zur Stabachse
    • Schubspannung gleich null
  • Maximale Schubspannung
    • Schnittwinkel von 45 Grad zur Stabachse
    • Normale Spannung halb so groß wie maximale Normalspannung

Beim einachsigen Spannungszustand tritt der Betrag der maximalen Normalspannung \(\lvert \sigma_{max} \rvert = \lvert \sigma_{x} \rvert\) im senkrechten Schnitt und der Betrag der maximalen Schubspannung \(\lvert \tau_{max} \rvert = \lvert \frac{\sigma_{x}}{2} \rvert\) im 45°-Schnitt \(\bigl(\frac{\pi}{4}\bigr)\) zur angreifenden Belastung auf.