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Starrkörperstatik

Zentrale Kräftesysteme: Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt

In der Technischen Mechanik spielt die Analyse von Kräften, die auf ein Objekt wirken, eine zentrale Rolle. Ein wichtiger Spezialfall ist das zentrale Kräftesystem, bei dem alle diese Kräfte einen gemeinsamen Angriffspunkt besitzen. In diesem Kapitel befassen wir uns mit den Eigenschaften und der Analyse zentraler Kräftesysteme und erkunden:

  • Definition und Eigenschaften: Was ist ein zentrales Kräftesystem? Welche besonderen Eigenschaften zeichnen es aus?
  • Grundaufgaben der Starrkörperstatik für zentrale Kräftesysteme:
    • Reduktion: Ein System von mehreren Kräften auf einen einzigen Punkt (Kraftschwerpunkt) reduzieren.
    • Gleichgewicht: Bestimmen, ob ein Körper unter der Wirkung von Kräften in Ruhe bleibt oder sich bewegt.
    • Zerlegung: Eine Kraft in mehrere Einzelkräfte zerlegen.

Bist du bereit, diese Geheimnisse zu lüften?

Auf dieser Seite
Übungsaufgaben
Inhaltsverzeichnis

6. Dritte Grundaufgabe: Zerlegung einer Kraft

Zeichnerische Lösung
Kräfte zerlegen – So einfach geht's!

Mission: Stell dir vor, du hast in einer Ebene eine Kraft R, die an einem starren Körper einwirkt. Zwei Wirkungslinien, w1 und w2, kreuzen diese Kraft an einem Punkt P. Deine Aufgabe? Finde zwei neue Kräfte, F1 und F2, auf w1 und w2, die zusammen genauso wirken wie R.

Klingt kompliziert? Mit etwas Grips und ein bisschen Spaß am Zeichnen ist das gar kein Problem!

Schritt 1: Ab zum Lageplan!

Zeichne einen Lageplan, in dem du die Kraft R und die beiden Richtungen w1 und w2 markierst. So hast du alles Wichtige im Blick.

Diese Abbildung 3.6.1 zeigt den Lageplan zur Aufgabenstellung.
Abb. 3.6.1: Lageplan
Schritt 2: Kräfteplan zeichnen

Jetzt wird's magisch! Mithilfe des Axioms vom Kräfteparallelogramm (ja, so etwas gibt es wirklich!) zerlegst du R in die beiden Richtungen w1 und w2.

Diese Abbildung 3.6.2 zeigt den Kräfteplan zur Aufgabenstellung.
Abb. 3.6.2: Kräfteplan

Dabei stellst du fest, dass es zwei Wege von S (Startpunkt von R) nach E (Endpunkt von R) gibt: Einmal über F1 und F2 ...

Diese Abbildung 3.6.3 zeigt den Kräfteplan zur Aufgabenstellung.
Abb. 3.6.3: Kräfteplan Weg 1

und einmal über F2 und F1.

Diese Abbildung 3.6.4 zeigt den Kräfteplan zur Aufgabenstellung.
Abb. 3.6.4: Kräfteplan Weg 2

Keine Sorge, die Kräfte sind gleich groß, die Lösung ist also eindeutig!

Gleichung aufstellen

Schreibe diese Erkenntnis als Gleichung auf:

$$ \begin{align} \tag{1} \vec{R} &= \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} \end{align} $$

Voila! Du hast die Komponentendarstellung von R gefunden, wobei F1 und F2 die Komponentenvektoren auf den Richtungen w1 und w2 sind.

Schritt 4: Drei Richtungen statt zwei? Kein Problem!

Du willst R in einer Ebene auf drei Richtungen (w1, w2 und w3) aufteilen? Dann gibt es mehr als eine Lösung!

Diese Abbildung 3.6.5 zeigt den Lageplan zur Aufgabenstellung.
Abb. 3.6.5: Lageplan mit 3 Wirkungslinien

Im Kräfteplan findest du verschiedene Möglichkeiten, R aufzuteilen.

Diese Abbildung 3.6.6 zeigt den Kräfteplan zur Aufgabenstellung.
Abb. 3.6.6: Kräfteplan für drei Wirkungslinien, Weg 1

Ändert du zum Beispiel den Betrag von F1, ändern sich auch die Beträge und eventuell die Richtungen der anderen Kräfte.

Diese Abbildung 3.6.7 zeigt den Kräfteplan zur Aufgabenstellung.
Abb. 3.6.7: Kräfteplan für drei Wirkungslinien, Weg 2

Die Lösung ist also nicht eindeutig. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, die Kräfte aufzuteilen. Je nachdem, welchen Betrag und welche Richtung du für eine Kraft wählst, erhältst du unterschiedliche Lösungen.

Fazit
  • Zerlegst du in einer Ebene eine Kraft auf zwei Richtungen, ist die Lösung eindeutig.
  • In der Ebene gilt: Bei mehr als zwei Richtungen gibt es unendlich viele Lösungen.
Bonus

Für einen Raum (3D) gilt:

  • Zerlegst du in einem Raum eine Kraft auf drei Richtungen, ist die Lösung eindeutig. Bedingung: Die Richtungen liegen nicht in einer Ebene und sind nicht parallel.
  • Im Raum gilt: Bei mehr als drei Richtungen gibt es unendlich viele Lösungen.